Абрахам Робинсон

Абрахам Робинсон (полное имя Абрахам Робинсон Хайманн, англ. Abraham Robinson; 6 октября 1918, Вальденбург, Германия — 11 апреля 1974, Нью-Хейвен, США) — американский математик, логик и инженер немецко-еврейского происхождения. Наиболее известен как создатель нестандартного анализа — математической дисциплины, которая вводит в анализ бесконечно малые и бесконечно большие величины на строгой логической основе, используя методы математической логики (теорию моделей). Также внёс вклад в теорию моделей, теорию множеств, аэродинамику и философию математики.

Биография

Ранние годы и образование

Родился в семье сефардских евреев в городе Вальденбург (ныне Валбжих, Польша), входившем в состав Германской империи. После прихода к власти нацистов в 1933 году семья Робинсонов эмигрировала в подмандатную Палестину. Абрахам окончил Еврейский университет в Иерусалифа, где изучал математику под руководством Абрахама Френкеля. В 1942 году защитил магистерскую диссертацию по алгебраической логике.

Деятельность в авиационной промышленности

В 1942—1946 годах служил в инженерно-технических подразделениях Королевских ВВС Великобритании. Занимался аэродинамическими исследованиями, в частности расчётами профилей крыльев. Результаты этих работ были изложены в монографии Wing Theory, изданной совместно с Дж. А. Лаурманном в 1956 году. В 1946—1947 годах работал в Колледже аэронавтики Крэнфилда.

Академическая карьера

После Второй мировой войны Робинсон продолжил научную деятельность в Великобритании. В 1949 году защитил докторскую диссертацию (PhD) в Лондонском университете по математической логике. Преподавал в Королевском колледже Лондона (1951—1957). Затем переехал в Израиль: был профессором Еврейского университета в Иерусалиме (1957—1962), одновременно занимал пост декана факультета математики. В 1962 году перебрался в США: работал в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе, а с 1967 года до конца жизни — в Иельском университете. В 1973 году избран членом Американской академии искусств и наук.

Скончался 11 апреля 1974 года от рака поджелудочной железы в возрасте 55 лет.

Научные достижения

Нестандартный анализ

Главным вкладом Робинсона в математику стало создание нестандартного анализа (начало 1960-х годов). Идея состояла в том, чтобы вернуть в математический анализ бесконечно малые величины (инфинитезимали) — понятие, активно использовавшееся в XVII—XVIII веках Лейбницем и другими математиками, но отвергнутое в XIX веке из-за логической нестрогости.

Робинсон построил гипердействительные числа — расширение поля действительных чисел с помощью аксиоматической теории, основанной на методах математической логики (теории моделей). В этой числовой системе существует актуальные бесконечно малые величины, отличные от нуля, и бесконечно большие числа. Используя гипердействительные числа, Робинсон смог строго обосновать лейбницевский инфинитезимальный подход, в частности: производные и интегралы стали определяться как точные (а не приближённые) значения; дифференциалы трактовались как бесконечно малые приращения. Таким образом, он показал, что инфинитезимали могут быть введены в математику без нарушения принципов строгости, если использовать современную математическую логику.

Основные публикации по этой теме: Non-standard Analysis (1966) — систематическое изложение предмета.

Теория моделей

Робинсон является одним из основателей современной теории моделей — раздела математической логики, изучающего математические структуры в контексте формальных языков. Ему принадлежат ключевые результаты:

• Компактность теории: доказал, что если каждое конечное подмножество предложений некоторой теории имеет модель, то и вся теория имеет модель.
• Теорема Робинсона о совместности: устанавливает условия, при которых две теории могут быть совместимы.
• Принцип переноса: центральная логическая теорема, используемая в нестандартном анализе. Она утверждает, что любое утверждение первого порядка, истинное для всех действительных чисел, остаётся истинным и для всех гипердействительных чисел.

Робинсон также ввёл понятие гиперконечных множеств — конечных в смысле нестандартной арифметики, но бесконечных в классическом смысле.

Вклад в аэродинамику

До своего фундаментального перехода в чистую математику Робинсон активно работал в прикладной математике. Его совместная с Дж. Лаурманном книга Wing Theory стала классическим трудом по расчёту крыльев летательных аппаратов. Он разработал аналитические методы для решения краевых задач, описывающих обтекание профилей.

Философские взгляды на математику

Робинсон придерживался номинализма и формализма (влияние Гильберта), но при этом критиковал «излишне платонистское» понимание бесконечных множеств. Он рассматривал нестандартный анализ как подтверждение того, что математические объекты могут быть сконструированы логически, без привлечения интуитивных представлений. В то же время он высоко ценил практическую применимость математических концепций.

Критика и восприятие

В профессиональной среде работы Робинсона первоначально встретили сдержанно. Многие математики считали, что его нестандартный анализ — это лишь переформулировка классического анализа в более громоздкой форме. Однако со временем область получила признание и развитие. Основные направления критики:

• Сложность логического аппарата: для работы с гипердействительными числами требуется знание теории моделей, что отпугивает прикладных математиков.
• Неоднозначность: некоторые математики (в частности, Эррет Бишоп) считали нестандартный анализ ненужным усложнением, не дающим принципиально новых теорем.
• Альтернативные подходы: позже были разработаны более простые аксиоматические системы для бесконечно малых (например, теория внутренних множеств Эдварда Нельсона, 1977).

Однако Робинсон сам подчёркивал, что его метод — не замена, а дополнение к классическому анализу, расширяющее возможности доказательств. К настоящему времени нестандартный анализ применяется в экономике, теории вероятностей, гидродинамике и теоретической физике.

Избранные труды

• Wing Theory (совм. с Дж. А. Лаурманном). Cambridge University Press, 1956.
• Complete Theories (1956). North-Holland.
• Non-standard Analysis. Amsterdam: North-Holland, 1966. (Репринт: Princeton University Press, 1996).
• Introduction to Model Theory and to the Metamathematics of Algebra (1963). North-Holland.
• The Metaphysics of the Calculus (1964, статья).

Интересные факты

• Абрахам Робинсон свободно владел немецким, английским, ивритом, французским и латынью.
• В 1960-х годах он выступал консультантом по математическим вопросам для ВВС США, в том числе по аэродинамике сверхзвуковых самолётов.
• Его докторская диссертация по математической логике была написана под руководством тогда ещё молодого логика Р. Л. Гудстейна.
• Именем Робинсона назван метод численного решения уравнений в аэродинамике — «профили Робинсона».
• В 1973 году, за год до смерти, он предсказал, что нестандартный анализ найдёт широкое применение в математическом анализе и стохастике, что в значительной степени осуществилось в 1980—1990-е годы.

Источники

• Abraham Robinson. Non-standard Analysis. — Princeton University Press, 1996. (Предисловие).
• Joseph W. Dauben. Abraham Robinson: The Creation of Nonstandard Analysis, A Personal and Mathematical Odyssey. — Princeton University Press, 1995. — ISBN 978-0-691-03745-5.
• Detlef Laugwitz. Robinson and the Development of Nonstandard Analysis. — 1980.
• К. Ф. Садовничий, В. А. Войцеховский. Абрахам Робинсон и нестандартный анализ. — М.: Изд-во МГУ, 1989.
• Abraham Robinson (биография) — MacTutor History of Mathematics Archive.