Число Сколема

Число Сколема — это наименьшее натуральное число, для которого не существует модели аксиом Пеано (формальной арифметики первого порядка), в которой все натуральные числа, меньшие или равные ему, являются стандартными. Иными словами, это минимальный элемент в любой нестандартной модели арифметики, который больше всех стандартных натуральных чисел. Понятие тесно связано с теоремой Лёвенгейма — Сколема и концепцией нестандартных моделей арифметики.

История

Понятие числа Сколема восходит к работам норвежского математика Торальфа Сколема (1887–1963). В 1933 году Сколем опубликовал статью, в которой показал, что аксиомы Пеано (формализованные в логике первого порядка) допускают нестандартные модели — то есть модели, содержащие, помимо обычных натуральных чисел (0, 1, 2, …), также и «бесконечно большие» числа, которые больше любого стандартного натурального числа.

Это открытие стало следствием теоремы Лёвенгейма — Сколема, утверждающей, что любая теория первого порядка со счётной сигнатурой, имеющая бесконечную модель, имеет также модель любой бесконечной мощности. В случае арифметики Пеано это означает существование моделей, изоморфных стандартным натуральным числам, и моделей, содержащих дополнительные элементы.

Сколем показал, что в любой нестандартной модели арифметики существует наименьший элемент, который больше всех стандартных чисел. Этот элемент и получил название числа Сколема. В современной математической логике его часто обозначают как c или ω₁.

Определение и формализация

Стандартная и нестандартная модели

Пусть N — стандартная модель арифметики Пеано, состоящая из натуральных чисел 0, 1, 2, … с обычными операциями сложения и умножения. Теорема Лёвенгейма — Сколема гарантирует существование нестандартной модели M, которая:

• содержит все элементы N (как подмножество);
• содержит дополнительные элементы, называемые нестандартными числами;
• удовлетворяет всем аксиомам Пеано.

В такой модели отношение порядка < является линейным и сохраняет свойства стандартных чисел. Нестандартные числа делятся на два класса:

• бесконечно большие — числа, которые больше любого стандартного натурального числа;
• бесконечно малые — числа, которые больше 0, но меньше любого положительного стандартного числа (в контексте арифметики Пеано бесконечно малые числа не возникают, так как аксиомы гарантируют отсутствие минимального положительного элемента).

Число Сколема

Число Сколема — это наименьший элемент в нестандартной модели, который больше всех стандартных натуральных чисел. Формально:

Пусть M — нестандартная модель арифметики Пеано. Тогда существует единственное число c ∈ M такое, что:

1. Для любого стандартного n ∈ N выполняется n < c.
2. Не существует x ∈ M такого, что n < x < c для всех стандартных n.

Такое число c называется числом Сколема для данной модели.

Важно отметить, что число Сколема не является стандартным натуральным числом. Оно принадлежит к классу нестандартных чисел и может быть сколь угодно большим в смысле нестандартного порядка.

Свойства

Порядковые свойства

• Число Сколема является предельным элементом в нестандартной модели: оно не имеет предшественника среди нестандартных чисел, но имеет последовательность стандартных чисел, сходящуюся к нему снизу.
• Для любого стандартного n существует нестандартное число x такое, что n < x < c. Это следует из того, что нестандартная модель плотна в некотором смысле.

Арифметические свойства

• Число Сколема не является ни чётным, ни нечётным в стандартном смысле, так как оно не может быть представлено в виде 2k или 2k+1 для стандартного k.
• Сложение и умножение с числом Сколема ведут себя нестандартно. Например, c + 1 > c, c + c > c, c c > c*.
• Не существует стандартного числа, которое делило бы c нацело (кроме 1 и самого c), но в нестандартной модели могут существовать нестандартные делители.

Независимость от модели

Число Сколема не является единственным — каждая нестандартная модель имеет своё собственное число Сколема. Более того, в одной модели может существовать бесконечно много нестандартных чисел, и число Сколема — лишь наименьшее из них.

Связь с другими понятиями

Теорема Лёвенгейма — Сколема

Число Сколема является прямым следствием этой теоремы. Теорема утверждает, что любая теория первого порядка со счётной сигнатурой, имеющая бесконечную модель, имеет модель любой бесконечной мощности. Для арифметики Пеано это означает существование моделей мощности континуум, в которых число Сколема может быть сколь угодно большим.

Нестандартный анализ

В нестандартном анализе (основанном на работах Абрахама Робинсона) понятие числа Сколема обобщается до бесконечно больших чисел. В этой теории все числа делятся на стандартные и нестандартные, причём нестандартные числа могут быть как бесконечно большими, так и бесконечно малыми. Число Сколема является частным случаем бесконечно большого числа.

Аксиома выбора

Существование нестандартных моделей арифметики, а следовательно, и числа Сколема, зависит от аксиомы выбора. В конструктивной математике (например, в теории множеств без аксиомы выбора) такие модели могут не существовать.

Примеры и иллюстрации

Построение нестандартной модели

Один из способов построения нестандартной модели арифметики — использование ультрафильтров. Рассмотрим множество всех последовательностей натуральных чисел. По теореме Лося, фактор-множество по ультрафильтру даёт нестандартную модель. В такой модели число Сколема может быть представлено последовательностью, растущей быстрее любой стандартной последовательности (например, последовательность 1, 2, 3, …).

Сравнение с другими нестандартными числами

Число Сколема — наименьшее из бесконечно больших чисел в данной модели. Однако существуют и большие нестандартные числа, например:

• c + 1
• c * 2
• c²
• c^c

Все эти числа также являются нестандартными и больше числа Сколема.

Критика и ограничения

Интуитивная непостижимость

Число Сколема является объектом чисто теоретическим и не имеет непосредственного физического или интуитивного аналога. Оно существует только в рамках формальной логики и теории моделей. Некоторые математики, особенно придерживающиеся финитизма или интуиционизма, отрицают его существование, так как оно не может быть построено конструктивно.

Зависимость от аксиоматики

Если отказаться от аксиомы выбора или использовать более слабые системы аксиом (например, арифметику второго порядка), существование нестандартных моделей и числа Сколема может быть недоказуемо. В рамках классической математики оно принимается как следствие стандартных аксиом.

Парадокс Сколема

Число Сколема является частью более широкого парадокса Сколема: в теории множеств Цермело — Френкеля (ZFC) существует модель, в которой все множества счётны, но при этом внутри модели можно доказать существование несчётных множеств. Аналогично, в нестандартной модели арифметики число Сколема является «бесконечно большим» с точки зрения стандартных чисел, но внутри модели оно ведёт себя как обычное натуральное число.

Применение

Математическая логика

Число Сколема используется для изучения свойств формальных теорий, в частности для доказательства неполноты и некатегоричности арифметики Пеано. Оно является ключевым примером, демонстрирующим различие между синтаксисом и семантикой в логике первого порядка.

Теория моделей

В теории моделей понятие числа Сколема обобщается до сколемовских функций и сколемовских расширений. Оно помогает классифицировать модели по их порядковым типам и изучать их изоморфизм.

Философия математики

Число Сколема вызывает философские дискуссии о природе математических объектов. Оно ставит под сомнение идею о том, что натуральные числа имеют единственную «истинную» интерпретацию, и поддерживает позицию формализма и плюрализма.

Источники

• Thoralf Skolem. «Über die Unmöglichkeit einer vollständigen Charakterisierung der Zahlenreihe mittels eines endlichen Axiomensystems». Norsk Mat. Forenings Skrifter, 1933.
• Abraham Robinson. «Non-standard Analysis». North-Holland, 1966.
• Joseph R. Shoenfield. «Mathematical Logic». Addison-Wesley, 1967.
• Kenneth Kunen. «Set Theory: An Introduction to Independence Proofs». North-Holland, 1980.
• Herbert B. Enderton. «A Mathematical Introduction to Logic». Academic Press, 1972.