Делитель нуля

Делитель нуля — это ненулевой элемент кольца (или более общей алгебраической структуры с умножением), произведение которого на другой ненулевой элемент того же кольца равно нулю. Понятие делителя нуля является центральным в теории колец и алгебре в целом, поскольку его наличие или отсутствие определяет фундаментальные свойства кольца: кольцо без делителей нуля называется областью целостности (или целостным кольцом). Делители нуля возникают в кольцах, где умножение не является взаимно однозначным, и их существование препятствует возможности деления (то есть построению поля частных).

Определение и основные свойства

Пусть \( R \) — кольцо (как правило, ассоциативное с единицей). Элемент \( a \in R \), \( a \neq 0 \), называется левым делителем нуля, если существует ненулевой элемент \( b \in R \) такой, что \( a \cdot b = 0 \). Аналогично, \( a \) называется правым делителем нуля, если существует \( c \neq 0 \) с \( c \cdot a = 0 \). В коммутативных кольцах левые и правые делители нуля совпадают, и говорят просто о делителе нуля. В некоммутативных кольцах различие существенно.

Элемент, не являющийся ни левым, ни правым делителем нуля, называется регулярным (или не являющимся делителем нуля). Нулевой элемент по определению не считается делителем нуля, хотя формально \( 0 \cdot x = 0 \) для любого \( x \).

Примеры

• В кольце целых чисел \( \mathbb{Z} \) нет делителей нуля: произведение двух ненулевых целых чисел никогда не равно нулю. \( \mathbb{Z} \) — область целостности.
• В кольце вычетов по модулю \( n \) (\( \mathbb{Z}_n \)) делители нуля существуют тогда и только тогда, когда \( n \) — составное число. Например, в \( \mathbb{Z}_6 \) элементы 2 и 3 являются делителями нуля, так как \( 2 \cdot 3 = 6 \equiv 0 \pmod{6} \). Если \( n \) — простое, то \( \mathbb{Z}_n \) — поле, и делителей нуля нет.
• В кольце квадратных матриц \( M_n(\mathbb{R}) \) при \( n \ge 2 \) существуют ненулевые матрицы, произведение которых равно нулевой матрице. Например, матрица \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) — делитель нуля, так как \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \).
• В кольце функций на множестве (например, непрерывных функций на отрезке) делителями нуля могут быть функции, носители которых не пересекаются: произведение двух ненулевых функций с непересекающимися носителями равно нулевой функции.

Классификация и типы

Левые и правые делители нуля

В некоммутативных кольцах делители нуля бывают односторонними. Например, в кольце эндоморфизмов векторного пространства бесконечной размерности существуют левые, но не правые делители нуля (и наоборот). В кольце матриц \( M_n(K) \) над полем \( K \) любой делитель нуля является одновременно левым и правым, так как матрица, не являющаяся обратимой, имеет нетривиальное ядро и нетривиальный коядро.

Нильпотентные элементы

Элемент \( a \) кольца называется нильпотентным, если \( a^k = 0 \) для некоторого натурального \( k \). Любой нильпотентный элемент является делителем нуля (если \( a \neq 0 \)), так как \( a \cdot a^{k-1} = 0 \). Обратное неверно: существуют делители нуля, не являющиеся нильпотентными (например, идемпотенты, такие как проектор в кольце матриц, для которого \( e^2 = e \), но \( e \neq 0,1 \), и \( e(1-e)=0 \)).

Регулярные элементы

Элемент, не являющийся делителем нуля, называется регулярным. В кольце с единицей регулярные элементы — это в точности те, которые не являются левыми и не являются правыми делителями нуля. В коммутативном кольце регулярные элементы образуют мультипликативно замкнутое множество, что позволяет строить кольцо частных (локализацию).

Связь с обратимостью

В кольце с единицей любой обратимый элемент (имеющий двусторонний обратный) не может быть делителем нуля. Действительно, если \( a \) обратим и \( a \cdot b = 0 \), то, умножив слева на \( a^{-1} \), получим \( b = 0 \). Однако обратное неверно: элемент может не быть делителем нуля, но не быть обратимым (например, в кольце целых чисел число 2 не является делителем нуля, но не обратимо). В конечных кольцах любой элемент, не являющийся делителем нуля, автоматически обратим.

Примеры из различных алгебраических структур

Кольца вычетов

В кольце \( \mathbb{Z}_n \) делители нуля — это в точности классы вычетов чисел, не взаимно простых с \( n \). Количество делителей нуля равно \( n - \varphi(n) - 1 \), где \( \varphi \) — функция Эйлера (вычитается единица за нулевой элемент). Например, в \( \mathbb{Z}_{12} \) делителями нуля являются 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10.

Кольца многочленов

Кольцо многочленов \( K[x] \) над полем \( K \) не имеет делителей нуля, так как степень произведения равна сумме степеней. Однако кольцо многочленов над кольцом с делителями нуля (например, \( \mathbb{Z}_6[x] \)) может содержать делители нуля: например, \( 2x \cdot 3 = 6x = 0 \), хотя \( 2x \neq 0 \).

Кольца функций

В кольце непрерывных функций на отрезке \( [0,1] \) делителями нуля являются функции, обращающиеся в нуль на некотором множестве положительной меры, но не тождественно равные нулю. Например, функция \( f(x) = x \) на \( [0,1] \) не является делителем нуля, так как её произведение с любой ненулевой функцией может быть нулём только если вторая функция нулевая почти всюду (но непрерывность исключает это). Однако функция \( g(x) = \max(0, x-0.5) \) и \( h(x) = \max(0, 0.5 - x) \) — делители нуля, так как их произведение равно нулю.

Значение в алгебре

Понятие делителя нуля является ключевым при определении области целостности — коммутативного кольца с единицей без делителей нуля. Области целостности, в свою очередь, являются базой для построения полей частных (например, поле рациональных чисел \( \mathbb{Q} \) строится как поле частных кольца \( \mathbb{Z} \)). Кольца с делителями нуля, напротив, не допускают вложения в поле, так как в поле нет делителей нуля.

В коммутативной алгебре и алгебраической геометрии делители нуля связаны с понятием спектра кольца: множество всех делителей нуля является объединением простых идеалов, ассоциированных с нулевым идеалом. В частности, в нётеровом кольце множество делителей нуля совпадает с объединением ассоциированных простых идеалов.

Интересные факты

• В кольце \( \mathbb{Z}_n \) делители нуля и обратимые элементы образуют разбиение множества ненулевых элементов: каждый ненулевой элемент либо обратим (если взаимно прост с \( n \)), либо является делителем нуля (если имеет общий делитель с \( n \)).
• В кольце матриц над полем делители нуля — это в точности вырожденные матрицы (с нулевым определителем). Они образуют двусторонний идеал, который не является простым.
• В бесконечномерных алгебрах (например, в алгебре операторов в гильбертовом пространстве) существуют левые делители нуля, не являющиеся правыми, и наоборот.

Источники

1. Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
2. Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: МЦНМО, 2011.
3. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
4. Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.