Десятичная дробь

Десятичная дробь — это форма записи дробного числа, в которой знаменатель является степенью числа 10 (10, 100, 1000 и т. д.), а числитель записывается после специального знака — запятой (или точки в некоторых странах). Десятичная дробь представляет собой частный случай обыкновенной дроби и является основным способом представления нецелых чисел в позиционной системе счисления.

История возникновения

Идея записи дробей с использованием десятичного разделителя возникла в разных культурах независимо друг от друга. В Древнем Китае для обозначения дробных частей использовали иероглифы, указывающие на разряд, а в средневековой арабской математике применялись шестидесятеричные дроби (по основанию 60), унаследованные от вавилонян.

Первым европейским математиком, систематически описавшим десятичные дроби, считается фламандский инженер и учёный Симон Стевин. В 1585 году он опубликовал трактат «Десятина» (De Thiende), где предложил записывать дробные числа с помощью цифр и специальных значков над ними, указывающих на разряд (десятые, сотые и т. д.). Однако современная форма записи с запятой в качестве разделителя появилась позже. В 1617 году шотландский математик Джон Непер ввёл в обиход точку для отделения целой части от дробной, а в континентальной Европе прижилась запятая, предложенная немецким астрономом и математиком Иоганном Кеплером в начале XVII века.

В России десятичные дроби начали активно использоваться в XVIII веке благодаря реформам Петра I и распространению западноевропейской математической литературы. Первым русским учебником, где подробно рассматривались десятичные дроби, стала «Арифметика» Леонтия Магницкого (1703 год).

Определение и запись

Десятичная дробь состоит из двух частей, разделённых запятой: целой части (слева от запятой) и дробной части (справа от запятой). Если целая часть равна нулю, её обычно опускают, записывая дробь, начиная с запятой (например, 0,5 записывают как ,5, но в современной практике ноль перед запятой всегда ставят).

Количество цифр в дробной части определяет знаменатель: одна цифра — десятые доли, две цифры — сотые, три — тысячные и так далее. Например:

• 0,7 — семь десятых (7/10);
• 3,14 — три целых четырнадцать сотых (3 + 14/100);
• 0,025 — двадцать пять тысячных (25/1000).

Чтение десятичных дробей

При чтении десятичной дроби сначала произносится целая часть (если она не равна нулю), затем слово «целых» (или «целая»), после чего дробная часть читается как число с указанием разряда: «десятых», «сотых», «тысячных» и т. д. Например, 2,3 — «две целых три десятых»; 0,125 — «нуль целых сто двадцать пять тысячных». В разговорной речи часто опускают слово «целых» при нулевой целой части: «ноль целых» заменяют просто «ноль» или пропускают.

Виды десятичных дробей

Конечные десятичные дроби

Конечной десятичной дробью называется дробь, дробная часть которой содержит конечное число цифр. Любая конечная десятичная дробь может быть представлена в виде обыкновенной дроби, знаменатель которой является степенью числа 10. Например, 0,25 = 25/100 = 1/4.

Не всякая обыкновенная дробь может быть записана в виде конечной десятичной. Для этого необходимо, чтобы после сокращения её знаменатель содержал только простые множители 2 и 5. Например, дробь 1/4 (знаменатель 4 = 2²) записывается как 0,25, а дробь 1/3 (знаменатель 3) — нет.

Бесконечные периодические десятичные дроби

Если обыкновенная дробь после сокращения имеет в знаменателе простые множители, отличные от 2 и 5, то при делении числителя на знаменатель получается бесконечная последовательность цифр, которая повторяется. Такая дробь называется периодической. Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в скобках. Например:

• 1/3 = 0,333... = 0,(3);
• 1/7 = 0,142857142857... = 0,(142857);
• 1/6 = 0,1666... = 0,1(6).

Периодическая дробь может быть смешанной, если период начинается не сразу после запятой, а после некоторого числа неповторяющихся цифр (так называемая предпериодическая часть).

Бесконечные непериодические десятичные дроби

Такие дроби не могут быть представлены в виде обыкновенной дроби (то есть являются иррациональными числами). Примеры: √2 ≈ 1,414213562..., π ≈ 3,141592653..., e ≈ 2,718281828... В десятичной записи этих чисел цифры после запятой не образуют повторяющейся последовательности и не заканчиваются.

Арифметические операции с десятичными дробями

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание десятичных дробей выполняется поразрядно, как с целыми числами, но с обязательным выравниванием количества цифр после запятой. Для этого к дроби с меньшим числом десятичных знаков справа дописывают нули. Затем запятые располагают строго друг под другом, и производят вычисления, не обращая внимания на запятую, которую в результате ставят на то же место.

Пример: 2,15 + 0,3 = 2,15 + 0,30 = 2,45.

Умножение

Умножение десятичных дробей выполняется без учёта запятых: числа перемножаются как целые, а затем в полученном произведении отделяют справа запятой столько цифр, сколько их было в сумме у обоих множителей после запятых. Например:

• 0,2 × 0,3 = 0,06 (2 × 3 = 6, всего два знака после запятой — 0,06);
• 1,5 × 2,4 = 3,60 (15 × 24 = 360, два знака — 3,60, что равно 3,6).

Деление

Деление десятичной дроби на натуральное число производится как обычное деление, но запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части. Если целая часть меньше делителя, частное начинается с нуля целых.

При делении на десятичную дробь сначала переносят запятую в делимом и делителе вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, превращая делитель в целое число. Затем выполняют деление на натуральное число.

Перевод в обыкновенную дробь и обратно

Чтобы перевести конечную десятичную дробь в обыкновенную, записывают её как дробь со знаменателем 10ⁿ (где n — количество цифр после запятой) и сокращают, если возможно. Например, 0,75 = 75/100 = 3/4.

Для перевода обыкновенной дроби в десятичную делят числитель на знаменатель. Если знаменатель после сокращения содержит только множители 2 и 5, деление закончится, и получится конечная дробь. В противном случае деление будет бесконечным, и дробь станет периодической.

Применение в повседневной жизни и науке

Десятичные дроби являются стандартом для измерения и расчётов в большинстве областей:

• Финансы и экономика: цены, налоги, проценты, курсы валют (например, 99,99 рубля, 12,5% годовых).
• Метрология и техника: точные измерения длины, массы, времени, температуры (например, 1,5 метра, 0,25 килограмма, 36,6 °C).
• Наука: физические константы, результаты экспериментов, статистические данные (например, скорость света — 299 792 458 м/с, число π — 3,14159...).
• Информатика: представление дробных чисел в форматах с плавающей запятой (float, double) основано на двоичной системе, но при выводе на экран и вводе пользователем используются десятичные дроби.

Сравнение с обыкновенными дробями

Десятичные дроби удобнее для арифметических операций, особенно при использовании калькуляторов и компьютеров, так как алгоритмы сложения, вычитания, умножения и деления для них аналогичны алгоритмам для целых чисел. Однако они не всегда точны: например, дробь 1/3 в десятичной записи является бесконечной, что приводит к погрешностям округления при вычислениях. Обыкновенные дроби, напротив, позволяют хранить точные значения рациональных чисел, но операции с ними (особенно сложение и вычитание) требуют нахождения общего знаменателя, что менее удобно.

Интересные факты

• В США и Великобритании в качестве десятичного разделителя используется точка (.), а не запятая (,). Это может приводить к путанице при международных расчётах.
• В некоторых странах (например, в Индии) для разделения разрядов в больших числах используется не запятая, а точка или пробел, а десятичный разделитель — точка.
• В программировании десятичные дроби с фиксированной точкой (например, тип DECIMAL в SQL) применяются для точных финансовых расчётов, чтобы избежать ошибок округления, свойственных двоичной арифметике с плавающей запятой.

Источники

• Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика. 5 класс. — М.: Мнемозина, 2019.
• Магницкий Л. Ф. Арифметика. — М.: Наука, 1703 (репринтное издание).
• Стевин С. Десятина. — Лейден, 1585.
• Энциклопедия элементарной математики / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: ГИТТЛ, 1951. — Т. 1.