Диофант Александрийский

Диофант Александрийский (др.-греч. Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς; вероятно, III век н. э.) — древнегреческий математик, живший в Александрии. Считается одним из основоположников алгебры как науки о решении уравнений, ввёл в математику буквенную символику и заложил основы теории чисел, изучающей целочисленные и рациональные решения уравнений. Его главный труд, «Арифметика», оказал огромное влияние на развитие математики, особенно в эпоху Возрождения и Нового времени.

Биографические сведения

Сведения о жизни Диофанта крайне скудны и восходят к единственному эпиграмматическому источнику — так называемой «эпитафии Диофанта», сохранившейся в «Греческой антологии» (XIV книге). Согласно этому стихотворению, Диофант прожил 84 года. Текст эпитафии, записанный в виде задачи, гласит:

«Прах Диофанта гробница хранит: дивись ей — и камнем

Мудрость умершего скажет счисленье веков.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком;

Половину шестой он встретил юношей с пушком на щеках;

Только минула седьмая, с подругой он обручился;

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Половину лишь жизни отцовской сын возлюбленный прожил;

Взят он был от отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей».

Решение этой задачи даёт возраст Диофанта: x = 84. Других достоверных биографических данных не сохранилось. Предположительно, он жил и работал в Александрии Египетской в III веке н. э., хотя некоторые исследователи относят его деятельность к более раннему или более позднему периоду (от II до IV века). Известно, что Диофант посвятил свою «Арифметику» некоему Дионисию, который, вероятно, был его учеником или покровителем.

Труды

«Арифметика»

Основной сохранившийся труд Диофанта — «Арифметика» (др.-греч. Ἀριθμητικά) в 13 книгах. До нашего времени дошли 6 книг в оригинале на греческом языке и ещё 4 книги в арабском переводе (всего 10 книг из 13). Содержание утраченных книг реконструируется по ссылкам у более поздних авторов.

«Арифметика» представляет собой сборник задач (всего около 130 в сохранившихся книгах) с решениями. Каждая задача формулируется в виде уравнения или системы уравнений, обычно с несколькими неизвестными, и решается в рациональных (реже — в целых) числах. Диофант вводит для неизвестных величин буквенные обозначения (символы), а также обозначения для степеней (до шестой), для обратных величин и для равенства. Он систематически использует приёмы подстановки и приведения подобных членов.

Ключевые особенности «Арифметики»:

• Алгебраический подход: задачи решаются не геометрически, а путём составления и преобразования уравнений.
• Рациональные решения: Диофант ищет не любые, а рациональные (или целые) решения, что отличает его от более ранних математиков, работавших преимущественно с вещественными числами.
• Неопределённые уравнения: многие задачи сводятся к уравнениям с несколькими неизвестными, имеющим бесконечно много решений (например, x² + y² = z²). Диофант находит одно или несколько рациональных решений.
• Символика: Диофант использует сокращения для неизвестной (греческая буква «сигма» с чертой — ς̅), для квадрата (ΔΥ — от δύναμις, «сила»), для куба (ΚΥ — от κύβος, «куб»), а также для равенства (знак, похожий на горизонтальную черту). Это первый в истории случай систематического применения буквенной символики в математике.

Другие сочинения

Диофанту также приписываются:

• «О многоугольных числах» — небольшой трактат, сохранившийся в отрывках, в котором исследуются свойства фигурных чисел (треугольных, квадратных, пятиугольных и т. д.) и выводятся формулы для их нахождения.
• «Поризмы» — утраченный сборник задач и теорем, на который ссылается сам Диофант в «Арифметике».
• Возможно, другие работы по теории чисел, не дошедшие до нас.

Математические достижения

Диофант считается основоположником диофантова анализа — раздела теории чисел, изучающего целочисленные и рациональные решения алгебраических уравнений. Он впервые ввёл:

• Буквенную символику для неизвестных и их степеней, что стало шагом к современной алгебраической записи.
• Систематическое решение неопределённых уравнений (уравнений с несколькими неизвестными, имеющих бесконечно много решений). Например, задача о нахождении двух чисел, сумма и произведение которых равны заданным числам, сводится к квадратному уравнению.
• Приёмы подстановки для понижения степени уравнений.
• Метод «ложного положения» (предположения) для решения задач с несколькими неизвестными.

Однако Диофант не рассматривал отрицательные и иррациональные числа, а все решения давал в положительных рациональных числах. Его алгебра была «синкопированной» — она использовала сокращения слов, а не полноценные формулы, но всё же была гораздо более формализованной, чем у его предшественников.

Влияние и историческое значение

Античность и Средневековье

В поздней античности «Арифметика» Диофанта была известна и комментировалась византийскими учёными, такими как Гипатия (IV век) и Иоанн Цец (XII век). В арабском мире труд был переведён в IX веке и оказал влияние на развитие алгебры у аль-Хорезми и других математиков. Однако в Западной Европе «Арифметика» была практически неизвестна до эпохи Возрождения.

Эпоха Возрождения и Новое время

Первое печатное издание «Арифметики» (в латинском переводе) вышло в 1575 году в Базеле. В 1621 году Клод Гаспар Баше де Мезириак опубликовал греческий текст с латинским переводом и комментариями. Именно это издание попало в руки Пьера де Ферма, который на полях книги написал знаменитую «Великую теорему Ферма»:

«Невозможно разложить куб на два куба, квадрат на два квадрата или вообще какую-либо степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».

Эта запись, сделанная на полях «Арифметики», стала одной из самых знаменитых математических проблем, решённой лишь в 1994 году Эндрю Уайлсом.

XIX–XX века

Диофантов анализ стал самостоятельной ветвью теории чисел. Исследованиями диофантовых уравнений занимались такие математики, как Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Анри Пуанкаре, Давид Гильберт. В XX веке диофантовы уравнения стали объектом изучения алгебраической геометрии и теории чисел.

Критика и восприятие

Некоторые историки математики отмечают, что Диофант не дал общего метода решения всех типов уравнений, а решал каждую задачу по-своему, используя остроумные, но не всегда систематические приёмы. Его подход называют «эвристическим» или «рецептурным», а не дедуктивным. Тем не менее, именно его работа стала отправной точкой для развития алгебры как науки об уравнениях.

Память

• Именем Диофанта назван кратер на Луне (Диофант).
• В математике термин «диофантово уравнение» используется для обозначения уравнения, решения которого ищутся в целых или рациональных числах.
• «Диофантов анализ» — раздел теории чисел.

Источники

• Диофант Александрийский. Арифметика / Пер. с греч. и коммент. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1974.
• Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Физматгиз, 1959.
• Юшкевич А. П. История математики в древности. — М.: Наука, 1961.
• Heath T. L. Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra. — Cambridge University Press, 1910.