Двойственность Пуанкаре

Двойственность Пуанкаре — это фундаментальная теорема алгебраической топологии, устанавливающая изоморфизм между группами гомологий и когомологий замкнутого ориентируемого многообразия. Впервые сформулирована Анри Пуанкаре в 1895 году и впоследствии обобщена на различные категории пространств. Теорема связывает топологические инварианты многообразия, такие как числа Бетти, и лежит в основе многих современных разделов математики, включая теорию пересечений и теорию характеристических классов.

Формулировка

Пусть \( M \) — замкнутое (компактное без края) ориентируемое топологическое многообразие размерности \( n \). Для любого целого числа \( k \) от 0 до \( n \) существует естественный изоморфизм:

\[ H^k(M; \mathbb{Z}) \cong H_{n-k}(M; \mathbb{Z}), \]

где \( H^k \) — группа когомологий, а \( H_{n-k} \) — группа гомологий с целыми коэффициентами. В более общем виде для произвольной абелевой группы коэффициентов \( G \) выполняется:

\[ H^k(M; G) \cong H_{n-k}(M; G). \]

Изоморфизм задаётся кап-произведением с фундаментальным классом \([M] \in H_n(M; \mathbb{Z})\) — каноническим элементом, представляющим ориентацию многообразия. Отображение \( \cap [M]: H^k(M; G) \to H_{n-k}(M; G) \) является биективным.

Следствия для чисел Бетти

Числа Бетти \( b_k = \dim_{\mathbb{Q}} H_k(M; \mathbb{Q}) \) удовлетворяют соотношению симметрии:

\[ b_k = b_{n-k}. \]

Это означает, что для замкнутого ориентируемого многообразия последовательность чисел Бетти симметрична относительно середины. Например, для сферы \( S^n \) все числа Бетти равны 1 при \( k = 0 \) и \( k = n \), а остальные — нулю, что согласуется с симметрией.

История

Теорема была впервые опубликована Анри Пуанкаре в 1895 году в работе «Analysis situs», заложившей основы алгебраической топологии. Пуанкаре рассматривал гомологии как числа Бетти — инварианты, связанные с количеством «дыр» разной размерности. Он заметил, что для замкнутого ориентируемого многообразия числа Бетти симметричны, и сформулировал это свойство как двойственность.

В 1930-х годах Соломон Лефшец и Хаслер Уитни дали строгое доказательство в рамках теории гомологий и когомологий, используя понятие фундаментального класса. В 1950-х годах Рене Том обобщил теорему на неориентируемые многообразия с помощью гомологий с локальными коэффициентами. Современные формулировки используют аппарат теории пучков и спектральных последовательностей.

Обобщения

Двойственность Пуанкаре — Лефшеца

Для многообразий с краем \( \partial M \) существует вариант теоремы, связывающий гомологии и когомологии самого многообразия и его края. Пусть \( M \) — компактное ориентируемое многообразие размерности \( n \) с краем. Тогда для любого \( k \) выполняется:

\[ H^k(M; G) \cong H_{n-k}(M, \partial M; G), \]

где \( H_{n-k}(M, \partial M) \) — относительные гомологии. Это позволяет изучать топологию края через внутренние свойства многообразия.

Неориентируемые многообразия

Для неориентируемых многообразий двойственность Пуанкаре выполняется с использованием гомологий с локальными коэффициентами, связанными с ориентационным пучком. В этом случае изоморфизм принимает вид:

\[ H^k(M; \mathbb{Z}^w) \cong H_{n-k}(M; \mathbb{Z}), \]

где \( \mathbb{Z}^w \) — система локальных коэффициентов, определяемая первым классом Штифеля — Уитни.

Двойственность в теории гомотопий

В рамках теории гомотопий двойственность Пуанкаре обобщается до двойственности Спеньера — Уайтхеда, которая устанавливает соответствие между спектрами, ассоциированными с многообразием. Это позволяет перенести идеи двойственности на категорию стабильных гомотопий.

Применения

Теория пересечений

Двойственность Пуанкаре лежит в основе теории пересечений на многообразиях. Изоморфизм между гомологиями и когомологиями позволяет интерпретировать когомологические классы как циклы, а их произведение — как пересечение подмногообразий. Например, для гладкого многообразия пересечение двух циклов размерностей \( p \) и \( q \) даёт цикл размерности \( p+q-n \), что соответствует умножению в когомологиях.

Характеристические классы

Теорема используется для определения характеристических классов, таких как классы Чженя, Понтрягина и Эйлера. Двойственность Пуанкаре позволяет связать эти классы с топологическими инвариантами многообразия, например, с сигнатурой и эйлеровой характеристикой.

Топологическая квантовая теория поля

В математической физике двойственность Пуанкаре является ключевым элементом топологической квантовой теории поля (TQFT). Она обеспечивает соответствие между состояниями на границе и операторами в объёме, что используется при построении инвариантов многообразий, таких как инварианты Дональдсона и Зейберга — Виттена.

Примеры

Сфера \( S^n \)

Для \( n \)-мерной сферы группы гомологий: \( H_0(S^n) \cong \mathbb{Z} \), \( H_n(S^n) \cong \mathbb{Z} \), остальные тривиальны. Двойственность Пуанкаре даёт \( H^k(S^n) \cong H_{n-k}(S^n) \), что выполняется: \( H^0 \cong H_n \cong \mathbb{Z} \), \( H^n \cong H_0 \cong \mathbb{Z} \).

Тор \( T^2 \)

Двумерный тор имеет числа Бетти: \( b_0 = 1 \), \( b_1 = 2 \), \( b_2 = 1 \). Симметрия \( b_k = b_{2-k} \) выполняется: \( b_0 = b_2 = 1 \), \( b_1 = b_1 = 2 \). Группы гомологий: \( H_0 \cong \mathbb{Z} \), \( H_1 \cong \mathbb{Z}^2 \), \( H_2 \cong \mathbb{Z} \). Когомологии: \( H^0 \cong \mathbb{Z} \), \( H^1 \cong \mathbb{Z}^2 \), \( H^2 \cong \mathbb{Z} \).

Проективная плоскость \( \mathbb{RP}^2 \)

Неориентируемое многообразие. Числа Бетти с целыми коэффициентами: \( b_0 = 1 \), \( b_1 = 0 \), \( b_2 = 0 \). Однако с коэффициентами в \( \mathbb{Z}_2 \) получаем \( b_0 = 1 \), \( b_1 = 1 \), \( b_2 = 1 \), что симметрично. Двойственность Пуанкаре для неориентируемых многообразий требует локальных коэффициентов.

Критика и ограничения

Двойственность Пуанкаре не выполняется для произвольных топологических пространств — она требует, чтобы пространство было многообразием (локально евклидовым) и замкнутым. Для пространств с особенностями, таких как стратифицированные множества, существуют обобщения (двойственность Вердье), но они сложнее. Кроме того, теорема не даёт явного описания изоморфизма — он существует, но не каноничен, если не выбрана ориентация.

Источники

• Пуанкаре А. Analysis situs // Journal de l'École Polytechnique. — 1895. — Т. 1. — С. 1–123.
• Хатчер А. Алгебраическая топология. — М.: МЦНМО, 2011. — Гл. 3.
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976. — Гл. 8.
• Масси У., Столлингс Дж. Алгебраическая топология. Введение. — М.: Мир, 1977. — Гл. 9.