Эдвард Нельсон

Эдвард Нельсон (англ. Edward Nelson; 4 мая 1932, Де-Калб, Иллинойс, США — 10 сентября 2014, Принстон, Нью-Джерси, США) — американский математик, известный своими работами в области математической логики, теории вероятностей, квантовой механики и оснований математики. Наиболее значительный вклад Нельсона связан с разработкой внутренней теории множеств (Internal Set Theory, IST) — нестандартного подхода к анализу, основанного на аксиоматизации теории бесконечно малых, а также с критикой формальной непротиворечивости арифметики Пеано.

Биография

Эдвард Нельсон родился в семье художницы и инженера. Его детство прошло в Нью-Йорке, где он посещал школу. В 1950 году поступил в Чикагский университет, где изучал физику и математику. В 1953 году получил степень бакалавра, а в 1955 году — магистра. Докторскую диссертацию по математике защитил в 1958 году в Принстонском университете под руководством Ирвинга Сигала. Тема диссертации касалась теории представлений групп.

С 1959 года и до выхода на пенсию в 2013 году Нельсон работал в Принстонском университете, где занимал должность профессора математики. Он также был приглашённым профессором в ряде университетов мира, включая Калифорнийский университет в Беркли, Массачусетский технологический институт и Цюрихский университет.

Научная деятельность

Внутренняя теория множеств (IST)

Наиболее известным достижением Нельсона является создание в 1977 году внутренней теории множеств (IST). Эта теория представляет собой расширение стандартной теории множеств Цермело — Френкеля (ZFC) путём добавления трёх новых аксиом, которые вводят предикат «стандартности» (standard). В IST все объекты делятся на «стандартные» (обычные, конечные числа) и «нестандартные» (бесконечно малые или бесконечно большие). Нельсон показал, что IST является консервативным расширением ZFC: любое утверждение, доказуемое в IST, но не содержащее предиката «стандартности», доказуемо и в ZFC. Это позволяет использовать методы нестандартного анализа (например, бесконечно малые для дифференцирования) без введения дополнительных логических конструкций, таких как ультрафильтры, необходимые в классическом нестандартном анализе Абрахама Робинсона.

Критика арифметики Пеано

В 1986 году Нельсон опубликовал статью, в которой утверждал, что арифметика Пеано (PA) является противоречивой. Он построил формальное доказательство, основанное на идее «сверхконечной» (ultrafinite) арифметики, в которой числа не могут быть произвольно большими. Однако вскоре после публикации другие математики (в частности, Соломон Феферман и Харви Фридман) обнаружили ошибку в рассуждениях Нельсона. Нельсон признал ошибку, но продолжал придерживаться скептического взгляда на непротиворечивость PA, считая, что традиционные доказательства непротиворечивости (например, с помощью теоремы Гёделя о неполноте) не являются окончательными.

Теория вероятностей и стохастические процессы

В 1960-х годах Нельсон внёс вклад в теорию вероятностей, в частности, в теорию мартингалов и стохастических дифференциальных уравнений. Он разработал «динамическую теорию вероятностей», в которой случайные процессы рассматриваются как решения дифференциальных уравнений с белым шумом. Его книга «Dynamical Theories of Brownian Motion» (1967) стала классической в этой области.

Квантовая механика

Нельсон также работал над основаниями квантовой механики. В 1966 году он предложил «стохастическую интерпретацию» квантовой механики, согласно которой случайные флуктуации частиц в пространстве (броуновское движение) могут объяснять квантовые эффекты, такие как интерференция. Эта идея, известная как «стохастическая механика» Нельсона, не получила широкого признания, но продолжает обсуждаться в философской литературе по квантовой физике.

Математическая логика

В 1970-х годах Нельсон занимался проблемами формальной логики, в частности, теорией доказательств и теорией моделей. Он разработал «предикативную» (predicative) теорию множеств, которая ограничивает использование аксиомы выбора и аксиомы бесконечности, стремясь избежать парадоксов, связанных с самореференцией.

Личная жизнь и философские взгляды

Эдвард Нельсон был известен своими нетрадиционными взглядами на математику и науку. Он был убеждённым агностиком и скептиком, критиковал догматические подходы в математике, в частности, веру в непротиворечивость формальных систем без доказательств. В личной жизни он увлекался музыкой (играл на фортепиано) и литературой. Он также активно участвовал в общественных движениях, выступая против ядерного оружия и войны во Вьетнаме.

Признание и наследие

Нельсон не получил крупных математических премий, но его работы оказали значительное влияние на развитие нестандартного анализа и оснований математики. Его внутренняя теория множеств используется в преподавании нестандартного анализа, а его критика арифметики Пеано стимулировала дискуссии о природе математической истины. В 2012 году в честь 80-летия Нельсона был проведён специальный симпозиум в Принстонском университете.

Основные публикации

• Dynamical Theories of Brownian Motion (1967, Princeton University Press)
• Internal Set Theory: A New Approach to Nonstandard Analysis (1977, Bulletin of the American Mathematical Society)
• Radically Elementary Probability Theory (1987, Princeton University Press)
• Predicative Arithmetic (1986, Princeton University Press)

Источники

• Edward Nelson. Internal Set Theory: A New Approach to Nonstandard Analysis. Bulletin of the American Mathematical Society, 83 (1977), 1165–1198.
• Edward Nelson. Dynamical Theories of Brownian Motion. Princeton University Press, 1967.
• Edward Nelson. Predicative Arithmetic. Princeton University Press, 1986.
• Edward Nelson. Radically Elementary Probability Theory. Princeton University Press, 1987.
• Некролог: Edward Nelson, mathematician of the infinite and the infinitesimal, dies at 82. Princeton University, 2014.
• Статья: Edward Nelson (1932–2014). Notices of the American Mathematical Society, 2015.