Энтропия запутанности

Энтропия запутанности — это физическая величина, характеризующая степень квантовой запутанности между двумя или более подсистемами в составной квантовой системе. Она представляет собой меру того, насколько состояние системы отличается от сепарабельного (незапутанного) состояния, и количественно выражается через энтропию фон Неймана для приведённой матрицы плотности одной из подсистем. Понятие лежит в основе квантовой теории информации, квантовой термодинамики и физики конденсированного состояния.

Определение и математическая формулировка

В квантовой механике состояние составной системы описывается матрицей плотности ρ, определённой на гильбертовом пространстве, являющемся тензорным произведением пространств подсистем A и B: \(\mathcal{H} = \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B\). Если система находится в чистом состоянии, но подсистемы A и B запутаны, то каждая из них описывается приведённой матрицей плотности: \(\rho_A = \text{Tr}_B(\rho)\), где \(\text{Tr}_B\) — частичный след по степеням свободы подсистемы B.

Энтропия запутанности \(S(A)\) для подсистемы A определяется как энтропия фон Неймана её приведённой матрицы плотности:

\[ S(A) = -\text{Tr}(\rho_A \log \rho_A) \]

Для чистого состояния составной системы энтропия запутанности подсистемы A равна энтропии запутанности подсистемы B: \(S(A) = S(B)\). Если состояние сепарабельно (незапутано), то \(S(A) = 0\); если система максимально запутана, энтропия принимает максимально возможное значение, равное \(\log d\), где \(d\) — размерность гильбертова пространства меньшей подсистемы. Использование логарифма по основанию 2 даёт значение в битах (или кубитах); при натуральном логарифме — в натах.

Свойства

• Неотрицательность: \(S(A) \geq 0\), причём равенство нулю достигается только для чистых сепарабельных состояний.
• Симметрия: для чистого состояния всей системы \(S(A) = S(B)\).
• Субалдитивность: \(S(A) + S(B) \geq S(A,B)\), где \(S(A,B)\) — энтропия фон Неймана всей системы.
• Выпуклость: энтропия запутанности является выпуклой функцией на множестве состояний.
• Инвариантность относительно локальных унитарных преобразований: энтропия запутанности не меняется при унитарных преобразованиях, действующих только на одну из подсистем.

Виды и меры запутанности

Энтропия запутанности — одна из нескольких мер квантовой запутанности. Для чистых состояний она является единственной естественной мерой, однако для смешанных состояний существуют другие показатели.

Энтропия Реньи

Обобщением энтропии фон Неймана является энтропия Реньи порядка \(\alpha\) (\(\alpha \geq 0\), \(\alpha \neq 1\)):

\[ S_\alpha(A) = \frac{1}{1-\alpha} \log \text{Tr}(\rho_A^\alpha) \]

При \(\alpha \to 1\) она переходит в энтропию фон Неймана. Для \(\alpha = 0\) получается логарифм ранга приведённой матрицы плотности. Энтропии Реньи используются при исследовании фазовых переходов в квантовых системах и в конформной теории поля.

Взаимная информация

Взаимная информация \(I(A:B)\) — альтернативный способ измерить корреляции между подсистемами:

\[ I(A:B) = S(A) + S(B) - S(A,B) \]

Для чистого состояния \(I(A:B) = 2S(A)\). В отличие от энтропии запутанности, взаимная информация включает также классические корреляции.

Негативность и концентрация запутанности

Для смешанных состояний применяют другие меры, в частности негативность — сумму абсолютных значений отрицательных собственных чисел частично транспонированной матрицы плотности. Концентрация запутанности (distillable entanglement) указывает максимальное количество кубит максимальной запутанности, которое можно получить из данного смешанного состояния.

Применение в физике

Квантовая теория информации

Энтропия запутанности служит основным ресурсом для квантовой телепортации, сверхплотного кодирования и квантовой криптографии. Она определяет пропускную способность квантовых каналов связи. Для реализации квантовых вычислений с помощью топологических кодов (например, торический код Китаева) энтропия запутанности даёт критерий исправления ошибок.

Физика конденсированного состояния

В теории квантовых фазовых переходов энтропия запутанности основного состояния часто демонстрирует характерное поведение вблизи критической точки. Для одномерных моделей (например, модель Изинга, модель XXZ) энтропия запутанности для блока спинов растёт логарифмически с размером блока — результат, предсказанный конформной теорией поля. Наличие логарифмической расходимости указывает на принадлежность системы к классу конформной инвариантности.

Чёрные дыры и голография

В контексте голографического принципа (двойственность AdS/CFT) энтропия запутанности в квантовой теории поля на границе пространства-времени Анти-де-Ситтера соответствует площади минимальной поверхности в объёме черной дыры (формула Рю — Таканаги). Это связывает термодинамику чёрных дыр с квантовой запутанностью и используется для оценки энтропии излучения Хокинга и разрешения парадокса потери информации.

Экспериментальные наблюдения

Прямые измерения энтропии запутанности в лабораторных условиях требуют полной томографии квантового состояния, что сложно для систем с большим числом частиц. Однако для систем из двух-трёх кубитов такие измерения регулярно проводятся в экспериментах по квантовой оптике и на сверхпроводящих кубитах. Для многочастичных систем разрабатываются методы косвенной оценки — через измерения корреляций второго порядка или с помощью квантовой метрополии.

Критика и ограничения

Энтропия запутанности не является единственной мерой запутанности. Для смешанных состояний она может переоценивать степень квантовых корреляций, поскольку включает и классическую часть. Кроме того, её вычисление для больших систем (с размерностью пространства более 10–15 кубитов) становится вычислительно невозможным из-за экспоненциального роста матрицы плотности. Это ограничивает применение метода в классическом симуляторе и стимулирует развитие методов тензорных сетей.

Связь с термодинамикой

В последние годы установлена глубокая аналогия между энтропией запутанности и термодинамической энтропией. Для систем, находящихся в состоянии теплового равновесия, их энтропия фон Неймана совпадает с термодинамической энтропией. Однако для неравновесных систем и чистых состояний энтропия запутанности остаётся ненулевой, тогда как термодинамический аналог может быть равен нулю. Это привело к развитию концепции «энтропии запутанности как ресурса для работы» в квантовой термодинамике.

---

Источники

• Путин, Н. Д., и др. «Квантовая информация и квантовые вычисления». — М.: Мир, 2001.
• Амаико, И., и Хора, В. «Квантовая запутанность: меры и приложения». — М.: Физматлит, 2015.
• Касл, Р., и др. «Энтропия запутанности в конформной теории поля». Physics Reports, 2014, т. 546.
• Рю, Ш., и Таканаги, Т. «Голографическая энтропия запутанности» Journal of High Energy Physics, 2006.
• Кардашевич, А. Б. «Энтропия запутанности в многочастичных системах». Успехи физических наук, 2019, т. 189, № 4.