Евклид

Евклид (др.-греч. Εὐκλείδης, ок. 325 — ок. 265 до н. э.) — древнегреческий математик, геометр и философ, работавший в Александрии. Считается «отцом геометрии». Его главный труд — «Начала» (лат. Elementa) — стал основой геометрии на протяжении более двух тысячелетий и оказал огромное влияние на развитие математики, логики и естествознания. Биографические сведения о Евклиде крайне скудны и дошли до нас в основном в пересказах поздних античных авторов.

Биография

Достоверных данных о жизни Евклида почти не сохранилось. Основным источником является комментарий к «Началам» философа V века н. э. Прокла Диадоха, который, в свою очередь, ссылается на более ранние труды. Согласно Проклу, Евклид жил во времена правления Птолемея I Сотера (323—283 до н. э.), основателя эллинистического Египта. Он был старше Архимеда (287—212 до н. э.), но младше учеников Платона (427—347 до н. э.).

Предположительно, Евклид обучался в Афинской академии, где усвоил традиции платоновской школы. Затем, по приглашению Птолемея I, он переехал в Александрию — крупнейший научный центр эллинистического мира. Там он основал и возглавил математическую школу в Александрийском мусейоне. Согласно легенде, на вопрос царя Птолемея, нет ли более короткого пути к изучению геометрии, чем через «Начала», Евклид ответил: «В геометрии нет царских путей».

Евклид известен не только как учёный, но и как педагог. Его «Начала» были задуманы как систематический учебник, доступный для изучения. О других обстоятельствах его жизни — семье, происхождении, обстоятельствах смерти — ничего не известно.

«Начала»

«Начала» (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) — это трактат, состоящий из 13 книг (частей). В нём Евклид впервые в истории математики изложил геометрию и теорию чисел как дедуктивную систему, основанную на небольшом наборе аксиом и постулатов. Этот труд стал образцом строгости и логической последовательности.

Структура и содержание

Книги 1–6 посвящены планиметрии (геометрии на плоскости). Книга 1 начинается с определений (точка, линия, поверхность, угол, фигура и т. д.), постулатов (в том числе знаменитый пятый постулат о параллельных прямых) и общих понятий (аксиом). Далее доказываются теоремы о треугольниках, параллельных прямых, площадях и теорема Пифагора.

Книги 7–9 посвящены арифметике и теории чисел. В них вводятся понятия делимости, простых чисел, наибольшего общего делителя и алгоритма Евклида для его нахождения. Доказывается, что простых чисел бесконечно много.

Книга 10 рассматривает несоизмеримые отрезки (иррациональности) — одну из самых сложных частей трактата.

Книги 11–13 посвящены стереометрии (геометрии в пространстве): свойства многогранников, объёмы тел, и завершаются доказательством того, что существует ровно пять правильных многогранников (платоновых тел).

Аксиоматический метод

Главное нововведение Евклида — аксиоматический метод. Он не просто перечислял факты, а выводил их из небольшого числа исходных положений, принимаемых без доказательства. Это позволило построить непротиворечивую и полную систему геометрии. Пятый постулат (о параллельных прямых) долгое время вызывал споры: многие математики пытались доказать его как теорему, но безуспешно. В XIX веке отказ от этого постулата привёл к созданию неевклидовых геометрий (Лобачевский, Бойяи, Риман).

Значение

«Начала» были переведены на множество языков и использовались как основной учебник геометрии в школах и университетах вплоть до XX века. По числу изданий и переводов эта книга уступает только Библии. Она оказала колоссальное влияние на становление математической логики, философии науки и всего западного рационализма.

Другие труды

Помимо «Начал», Евклиду приписывается несколько других сочинений, сохранившихся частично или в переводах:

• «Данные» (лат. Data) — сборник задач по геометрии, где по заданным элементам фигуры требуется найти другие.
• «О делении фигур» (лат. De divisionibus) — трактат о делении отрезков и площадей в заданном отношении.
• «Явления» (греч. Φαινόμενα) — работа по сферической астрономии, описывающая видимое движение звёзд.
• «Оптика» (греч. Ὀπτικά) — одно из первых сочинений по геометрической оптике, где рассматриваются прямолинейное распространение света, отражение и преломление.
• «Катоптрика» (греч. Κατοπτρικά) — трактат о зеркалах (сохранился в арабском переводе).

Некоторые из этих работ, например «Оптика», содержат элементы, которые современные исследователи считают позднейшими вставками.

Влияние и критика

Влияние на науку

«Начала» Евклида стали образцом математической строгости. На их основе строилось обучение геометрии в античных, средневековых и ренессансных школах. В эпоху Возрождения и Нового времени труды Евклида активно изучались и комментировались (например, Исаак Ньютон в своих «Началах» сознательно подражал стилю Евклида). В России «Начала» впервые были изданы в 1739 году в переводе с латинского.

Критика

Несмотря на огромное влияние, система Евклида не лишена недостатков. С точки зрения современной математики, его аксиоматика неполна: некоторые интуитивно очевидные положения (например, о расположении точек на прямой) не были сформулированы явно. В конце XIX века математики (Гильберт, Пеано) создали строгую аксиоматику геометрии, устранившую эти пробелы. Кроме того, пятый постулат Евклида оказался независимым от остальных, что привело к созданию неевклидовых геометрий.

В культуре

Имя Евклида стало нарицательным для обозначения строгой логики и дедуктивного метода. Выражение «евклидова геометрия» противопоставляется «неевклидовой». В честь учёного назван кратер на Луне и астероид (4354) Евклид.

Интересные факты

• Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел — один из старейших известных алгоритмов, до сих пор используемый в компьютерной математике.
• Евклид не был первым, кто писал «Начала» — до него существовали аналогичные труды, например, «Начала» Гиппократа Хиосского (V век до н. э.), но они не сохранились.
• В «Началах» нет ни одной задачи с практическим содержанием (например, на вычисление площади поля) — это чисто теоретическая работа.
• В Средние века «Начала» были известны в Европе в основном через арабские переводы, а затем через латинские версии, сделанные с арабского.

Источники

• Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида.
• Мордухай-Болтовский Д. Д. Евклид и его «Начала» // Евклид. Начала. — М.—Л., 1948.
• Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М., 1959.
• Хит Т. Л. История греческой математики. — Оксфорд, 1921.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М., 1964.