Фундаментальная последовательность

Фундаментальная последовательность — это абстрактный математический объект, используемый в нестандартном анализе для построения поля гипердействительных чисел. В наиболее распространённой конструкции (через ультрафильтр на множестве натуральных чисел) фундаментальной последовательностью называют любую последовательность действительных чисел, которая сходится к нулю или, в более общем смысле, является последовательностью Коши. Термин является калькой с английского «fundamental sequence» и часто заменяется более точным понятием «последовательность, стремящаяся к нулю» (нуль-последовательность) в контексте построения неархимедовых полей.

Определение и контекст

Фундаментальная последовательность — центральное понятие при аксиоматическом построении системы гипердействительных чисел (неархимедова расширения поля действительных чисел). В классическом математическом анализе сходимость последовательности к конечному пределу определяется через ε-N-язык. В нестандартном анализе, разработанном Абрахамом Робинсоном в 1960-х годах, фундаментальная последовательность выступает как элемент, который после факторизации по ультрафильтру даёт новое число — бесконечно малое или бесконечно большое.

Формально: пусть ℝ⁺ — множество всех положительных действительных чисел. Фундаментальной последовательностью (или нуль-последовательностью) называется отображение \( a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}^+ \), такое что \( \lim_{n \to \infty} a(n) = 0 \). То есть для любого ε>0 существует N∈ℕ, что для всех n≥N выполняется \( |a(n)| < ε \).

Однако в литературе по нестандартному анализу термин «фундаментальная последовательность» может применяться к любой последовательности действительных чисел, которая порождает гипердействительное число при факторизации по неглавному ультрафильтру. В таком контексте фундаментальная последовательность — это просто представитель класса эквивалентности в кольце последовательностей ℝ^ℕ, факторизованном по ультрафильтру, где отношение эквивалентности задаётся совпадением почти всех членов (по ультрафильтру).

История

Понятие восходит к работам немецкого математика Ганса Хана (Hahn, 1907) по теории неархимедовых упорядоченных групп, а затем к работам Абрахама Робинсона (1966), который систематически изложил нестандартный анализ. Идея использовать последовательности, сходящиеся к нулю, для построения бесконечно малых была известна ещё в XIX веке (например, в работах Бернхарда Римана по основаниям анализа), но строгую формализацию получила лишь в середине XX века.

В 1973 году американский математик Натаниэль Лакс (Nathaniel Lax) предложил термин «фундаментальная последовательность» для обозначения последовательностей Коши, используемых в ультрафильтровой конструкции гипердействительных чисел. Европейские математики (особенно французская школа Жоржа Реймона и Жана Дьёдонне) чаще использовали термин «нуль-последовательность».

Математическое определение

Пусть \( \mathcal{U} \) — неглавный ультрафильтр на ℕ. Рассмотрим множество всех последовательностей действительных чисел \( \mathbb{R}^\mathbb{N} \). На нём введём отношение эквивалентности: \[ (a_n) \sim (b_n) \iff \{n \in \mathbb{N} : a_n = b_n\} \in \mathcal{U}. \] Фактормножество \( \mathbb{R}^\mathbb{N} / \mathcal{U} \) — это поле гипердействительных чисел \( ^*\mathbb{R} \).

Если дополнительно потребовать, чтобы последовательности были сходящимися к нулю (или, более общо, были последовательностями Коши), то такие последовательности называются фундаментальными относительно ультрафильтра \( \mathcal{U} \). Обычно в нестандартном анализе фундаментальная последовательность — это та, которая представляет бесконечно малое число (если она стремится к нулю) или бесконечно большое число (если она стремится к бесконечности).

Свойства

1. Неархимедовость. Множество гипердействительных чисел, полученных из фундаментальных последовательностей, не является архимедово упорядоченным: существуют бесконечно малые (меньше любого ε>0) и бесконечно большие (больше любого M∈ℝ).

1. Ограниченная замкнутость. Если взять множество всех фундаментальных последовательностей, стремящихся к нулю, и факторизовать его по ультрафильтру, получится подполе бесконечно малых гипердействительных чисел.

1. Связь со сходимостью. Для любой последовательности действительных чисел \( (a_n) \) её предел в ℝ\(со стандартной топологией) существует тогда и только тогда, когда разность между гипердействительным числом, порождённым \( (a_n) \), и некоторым стандартным действительным числом является бесконечно малой.

Примеры

Пример 1: Бесконечно малое число. Рассмотрим фундаментальную последовательность \( a_n = \frac{1}{n} \). Она стремится к нулю. После факторизации по ультрафильтру она даёт положительное гипердействительное число, которое меньше любого стандартного положительного числа — это бесконечно малое число (инфинитезималь). В нестандартном анализе такое число обозначается \( \varepsilon \) или \( dx \).

Пример 2: Бесконечно большое число. Последовательность \( a_n = n \) не стремится к нулю; она стремится к бесконечности. После факторизации она даёт гипердействительное число, которое больше любого стандартного натурального числа — это бесконечно большое (гипернатуральное) число.

Пример 3: Стандартное число. Постоянная последовательность \( a_n = 2 \) (все члены равны 2) после факторизации даёт гипердействительное число, равное стандартному действительному числу 2. Такая последовательность является фундаментальной, но она не стремится к нулю; её класс — это стандартное число.

Применение в математике

Фундаментальные последовательности лежат в основе:

• Нестандартного анализа — построения теории бесконечно малых и бесконечно больших, позволяющей строго обосновывать методы математического анализа (например, интуитивное понятие «бесконечно малого» получает строгое определение).
• Теории меры — для построения интегрирования по Лебегу в нестандартной форме (loeb-меры).
• Аналитической теории чисел — для изучения свойств натуральных чисел в сверхстепенях (ультрафильтровая конструкция).
• Дифференциальных уравнений — для построения нестандартных решений, которые могут быть сколь угодно близки к решениям классических уравнений.

Отличие от смежных понятий

Термин «фундаментальная последовательность» в нестандартном анализе часто смешивают с последовательностью Коши (фундаментальной в метрическом пространстве) или с нуль-последовательностью. Различие:

• Последовательность Коши — это последовательность, члены которой становятся сколь угодно близкими друг к другу, но она не обязательно стремится к нулю. В нестандартном анализе любая последовательность Коши является фундаментальной, но не наоборот (например, последовательность \( a_n = n \) — фундаментальна, но не является Коши).
• Нуль-последовательность — это последовательность, стремящаяся к нулю. В нестандартном анализе она даёт именно бесконечно малые, но не бесконечно большие.

Критика и обсуждения

Понятие фундаментальной последовательности критиковалось за то, что оно основано на выборе неглавного ультрафильтра, существование которого зависит от аксиомы выбора. Некоторые математики (например, Эдвард Нельсон) разработали альтернативные подходы к нестандартному анализу, не требующие ультрафильтров (внутренний набор теории), где фундаментальные последовательности не используются. Тем не менее, конструкция через ультрафильтр остаётся наиболее распространённой в учебной литературе.

Связь с другими разделами математики

• Теория поля. Гипердействительные числа, построенные из фундаментальных последовательностей, образуют неархимедово упорядоченное поле, которое содержит поле действительных чисел как подполе.
• Топология. Фундаментальные последовательности соответствуют точкам в пространстве Леба — компактификации множества натуральных чисел по ультрафильтру.
• Логика. Построение фундаментальных последовательностей использует язык теории моделей и ультрапроизведений.

Литература

• Робинсон А. «Нестандартный анализ». — М.: Наука, 1967.
• Halmos P. «Lectures on Boolean Algebras». — Springer, 1963 (глава про ультрафильтры).
• Davis M. «Applied Nonstandard Analysis». — Wiley, 1977.
• Keisler H. J. «Foundations of Infinitesimal Calculus». — Prindle, Weber & Schmidt, 1976.

Источники:

• Robinson A. Non-standard Analysis. — North-Holland, 1966.
• Lax N. «The use of ultraproduct in analysis» // American Mathematical Monthly, 1973.
• Hurd A. E. «Nonstandard Analysis: Theory and Applications». — Springer, 1985.