Функция поведения — понятие в теории управления¶
Функция поведения — математическое понятие, используемое в теории автоматического управления и теории систем, обозначающее зависимость выходной величины системы от входного воздействия в установившемся режиме, то есть после затухания переходных процессов. В отличие от передаточной функции, которая описывает динамику системы во времени, функция поведения характеризует статическое (или квазистатическое) соотношение между входом и выходом и применяется для анализа точности и устойчивости систем.
¶Определение и место в теории управления
Функция поведения формально определяется как отношение выходной переменной системы к входной переменной в предположении, что все производные от этих величин равны нулю, то есть система находится в равновесии. Если передаточная функция $W(s)$ описывает соотношение между входом и выходом в операторном пространстве Лапласа, то функция поведения получается из неё подстановкой $s = 0$:
$$K = W(0)$$
Число $K$ называется коэффициентом передачи или статическим коэффициентом системы. Оно показывает, во сколько раз выходная величина превышает входную в установившемся режиме.
Понятие тесно связано с классической структурой линейной системы автоматического управления, включающей звенья регулятора, исполнительного механизма и объекта управления. В российской учебной литературе по теории управления (работы А. А. Андронова, С. Э. Хайкина, А. Я. Лернера, Б. Н. Петрова) функция поведения рассматривается как один из базовых инструментов оценки точности системы.
¶Связь с передаточной функцией
Передаточная функция линейной системы с постоянными коэффициентами представляется в виде отношения двух многочленов от комплексной переменной $s$:
$$W(s) = \frac{B(s)}{A(s)} = \frac{b_m s^m + \dots + b_0}{a_n s^n + \dots + a_0}$$
При $s \to 0$ функция поведения равна отношению свободных членов:
$$K = \frac{b_0}{a_0}$$
Если система содержит интегрирующее звено (например, апериодическое звено с передаточной функцией $1/(Ts)$), то $W(0) \to \infty$, и функция поведения формально обращается в бесконечность. Такие системы называются системами с апериодическим звеном нулевого порядка и обладают нулевой статической ошибкой при постоянном воздействии.
¶Классификация систем по функции поведения
По характеру функции поведения системы делятся на несколько классов:
| Класс системы | Функция поведения | Статическая ошибка при постоянном воздействии |
|---|---|---|
| Апериодическое звено нулевого порядка | Конечная, ненулевая | Ненулевая, конечная |
| Звено с апериодическим звеном первого порядка | Бесконечная | Нулевая |
| Звено с апериодическим звеном второго порядка | Бесконечная | Нулевая |
| Звено с звеном запаздывания | Конечная | Ненулевая |
Системы с ненулевой статической ошибкой требуют применения корректирующих устройств (дифференцирующих звеньев, обратных связей) для повышения точности.
¶Применение
Функция поведения используется при решении следующих задач:
- Оценка точности системы. По величине $K$ и типу системы определяется статическая ошибка при различных типах входных воздействий (постоянное, линейно растущее, квадратично растущее).
- Синтез регулятора. При проектировании систем автоматического управления коэффициент передачи подбирается таким образом, чтобы обеспечить требуемую точность и запас устойчивости.
- Анализ следящих систем. В следящих системах (например, в системах стабилизации ракет, приводах станков) функция поведения определяет величину установившегося отклонения от заданного сигнала.
- Статический анализ нелинейных систем. Для нелинейных систем вместо функции поведения используется статическая характеристика — зависимость выхода от входа в установившемся режиме, получаемая из уравнений системы приравниванием производных нулю.
¶Пример
Рассмотрим систему, состоящую из последовательно соединённых звеньев с передаточными функциями $W_1(s) = K_1$ и $W_2(s) = K_2 / (Ts + 1)$. Передаточная функция всей системы:
$$W(s) = \frac{K_1 K_2}{Ts + 1}$$
Функция поведения:
$$K = W(0) = K_1 K_2$$
При подаче на вход постоянного сигнала $u$ установившееся значение выхода составит $y = K_1 K_2 u$, а статическая ошибка при единичной обратной связи равна $1 / (1 + K_1 K_2)$.
¶См. также
- Передаточная функция
- Статическая ошибка
- Коэффициент передачи
- Следящая система
- Теория автоматического управления
¶Источники
- Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний
- Лернер А. Я. Структура систем автоматического управления
- Петров Б. Н. Теория автоматического управления
- Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники