Функция распределения

Функция распределения (также интегральная функция распределения, кумулятивная функция распределения) — это функция, задающая для каждого действительного числа вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее или равное этому числу. Функция распределения является одной из основных характеристик случайной величины, полностью описывающей её вероятностное поведение. Она определена для любого типа случайных величин: дискретных, непрерывных и смешанных.

Определение и свойства

Пусть задано вероятностное пространство (Ω, 𝒜, P) и случайная величина X: Ω → ℝ. Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x) = P({ω ∈ Ω: X(ω) ≤ x}), где x ∈ ℝ. Иными словами, F(x) равна вероятности того, что случайная величина X не превысит значения x.

Функция распределения обладает следующими фундаментальными свойствами:

1. Неубывание: если x₁ < x₂, то F(x₁) ≤ F(x₂).
2. Пределы на бесконечности: lim_{x→-∞} F(x) = 0, lim_{x→+∞} F(x) = 1.
3. Непрерывность справа: для любого x₀ ∈ ℝ выполняется lim_{x→x₀⁺} F(x) = F(x₀). Функция может иметь разрывы первого рода (скачки) слева.

Из этих свойств следует, что функция распределения всегда принимает значения от 0 до 1 включительно. Вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b] вычисляется как разность: P(a < X ≤ b) = F(b) — F(a). Для непрерывных случайных величин вероятность попадания в точку равна нулю, поэтому F(x) является непрерывной функцией.

Классификация случайных величин по типу функции распределения

Дискретные случайные величины

Если случайная величина принимает конечное или счётное число значений {x₁, x₂, …, xₙ} с вероятностями p₁, p₂, …, pₙ (∑ pᵢ = 1), то её функция распределения является ступенчатой. В точках xᵢ она имеет скачки величиной pᵢ, а на интервалах между значениями остаётся постоянной. Формально: F(x) = ∑_{xᵢ ≤ x} pᵢ.

Непрерывные случайные величины

Если случайная величина имеет плотность распределения f(x) (неотрицательную, интегрируемую функцию, интеграл от которой по всей прямой равен 1), то её функция распределения выражается через интеграл: F(x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt. В этом случае F(x) абсолютно непрерывна, и почти всюду существует производная F'(x) = f(x). Вероятность попадания в любой интервал равна площади под графиком плотности над этим интервалом.

Смешанные случайные величины

Существуют случайные величины, функция распределения которых имеет как непрерывные участки, так и скачки. Например, время ожидания автобуса с ненулевой вероятностью опоздания на рейс. Такие распределения описываются комбинацией дискретной и непрерывной компонент.

Примеры функций распределения

Равномерное распределение на отрезке [0, 1]

Функция распределения: F(x) = 0 при x < 0, F(x) = x при 0 ≤ x ≤ 1, F(x) = 1 при x > 1. График — прямая, соединяющая точки (0,0) и (1,1).

Нормальное распределение (Гаусса)

Функция распределения для нормального распределения с параметрами μ (математическое ожидание) и σ² (дисперсия) не выражается через элементарные функции. Она задаётся через интеграл: F(x) = (1/(σ√(2π))) ∫_{-∞}^{x} exp(-(t-μ)²/(2σ²)) dt. Для стандартного нормального распределения (μ=0, σ=1) используется функция Лапласа Φ(x) = (1/√(2π)) ∫_{-∞}^{x} exp(-t²/2) dt, значения которой табулированы.

Экспоненциальное распределение

Функция распределения: F(x) = 0 при x < 0, F(x) = 1 — exp(-λx) при x ≥ 0, где λ > 0 — параметр интенсивности. Используется в теории надёжности и теории массового обслуживания.

Применение в статистике

Функция распределения является центральным понятием математической статистики. На практике, когда истинное распределение неизвестно, по выборке строится её эмпирический аналог — эмпирическая функция распределения (функция распределения выборки). Для выборки объёма n она определяется как Fₙ(x) = (1/n) * (число элементов выборки, не превосходящих x). Согласно теореме Гливенко — Кантелли, эмпирическая функция распределения сходится равномерно по вероятности к истинной функции распределения при n → ∞.

Функция распределения используется для:

• Проверки статистических гипотез (критерий Колмогорова — Смирнова, критерий Шапиро — Уилка).
• Построения доверительных интервалов для квантилей.
• Генерации случайных чисел методом обратной функции.
• Оценки рисков и вероятностей в прикладных задачах.

Связь с другими вероятностными характеристиками

• Квантильная функция является обратной к функции распределения: Q(p) = inf{x ∈ ℝ: F(x) ≥ p}, где p ∈ [0, 1]. Для непрерывных строго возрастающих распределений Q(p) = F⁻¹(p).
• Функция выживания (в теории надёжности) определяется как S(x) = P(X > x) = 1 — F(x).
• Функция риска (интенсивность отказов) выражается через функцию распределения и плотность: h(x) = f(x) / (1 — F(x)).

Вариации и обобщения

Для многомерных случайных величин определяется совместная функция распределения: F(x₁, …, xₙ) = P(X₁ ≤ x₁, …, Xₙ ≤ xₙ). Она обладает свойствами, аналогичными одномерному случаю, но с дополнительными условиями согласованности.

В теории вероятностей и математической статистике также рассматриваются:

• Условные функции распределения — распределение одной случайной величины при условии, что другая приняла определённое значение.
• Функции распределения случайных процессов — например, для марковских цепей или гауссовских процессов.

Источники

• Ширяев А. Н. «Вероятность». — М.: МЦНМО, 2011.
• Боровков А. А. «Теория вероятностей». — М.: Наука, 1986.
• Вентцель Е. С. «Теория вероятностей». — М.: Высшая школа, 2001.
• Гмурман В. Е. «Теория вероятностей и математическая статистика». — М.: Юрайт, 2019.