Геоцентрическая гравитационная постоянная

Геоцентрическая гравитационная постоянная (обозначается \( GM_{\oplus} \) или \( \mu_{\oplus} \)) — это произведение гравитационной постоянной Ньютона \( G \) на массу Земли \( M_{\oplus} \). В небесной механике и геодезии данная величина используется как фундаментальный параметр, определяющий гравитационное поле Земли и движение объектов вокруг неё. В отличие от отдельно взятых \( G \) и \( M_{\oplus} \), произведение \( GM_{\oplus} \) может быть измерено с гораздо более высокой точностью, что делает его ключевым элементом расчётов орбит искусственных спутников, траекторий космических аппаратов и параметров земной фигуры.

Определение и физический смысл

Геоцентрическая гравитационная постоянная представляет собой параметр, входящий в закон всемирного тяготения в форме, применимой для центрального тела. Для двух точечных масс, одна из которых — Земля, сила притяжения выражается как:

\[ F = \frac{G M_{\oplus} m}{r^2} = \frac{\mu_{\oplus} m}{r^2} \]

где \( m \) — масса пробного тела, \( r \) — расстояние между центрами масс. Таким образом, \( \mu_{\oplus} \) является мерой гравитационного поля Земли, не зависящей от массы пробного тела.

В рамках задачи двух тел произведение \( GM_{\oplus} \) определяет такие характеристики орбиты, как период обращения, большая полуось и среднее движение. В частности, третий закон Кеплера в уточнённой ньютоновской форме записывается как:

\[ \frac{a^3}{T^2} = \frac{G M_{\oplus}}{4\pi^2} = \frac{\mu_{\oplus}}{4\pi^2} \]

где \( a \) — большая полуось орбиты, \( T \) — период обращения.

История измерения

Ранние оценки

Первые определения массы Земли, а следовательно, и \( GM_{\oplus} \), были выполнены в XVIII—XIX веках на основе гравиметрических измерений. В 1774 году Невил Маскелайн, используя отклонение отвеса у горы Шихаллион в Шотландии, оценил среднюю плотность Земли, что позволило вычислить её массу. В 1798 году Генри Кавендиш в эксперименте с крутильными весами впервые измерил гравитационную постоянную \( G \), что дало возможность рассчитать \( M_{\oplus} \) и \( \mu_{\oplus} \) с относительной погрешностью около 1 %.

Эпоха спутников

С началом космической эры точность измерений резко возросла. Наблюдения за движением первых искусственных спутников Земли (ИСЗ) — советского «Спутника-1» (1957) и американского «Эксплорера-1» (1958) — позволили уточнить \( \mu_{\oplus} \) на основе анализа возмущений орбит. В 1960-х годах, с развитием лазерной локации спутников (SLR) и доплеровского слежения, погрешность снизилась до \( 10^{-8} \) — \( 10^{-9} \) от измеряемой величины.

Современные значения

На 2024 год наиболее точное значение геоцентрической гравитационной постоянной принято Международным астрономическим союзом (МАС) и Международной службой вращения Земли (IERS) и составляет:

\[ \mu_{\oplus} = 398600.4418 \pm 0.0008 \ \text{км}^3/\text{с}^2 \]

или в системе СИ:

\[ \mu_{\oplus} = 3.986004418 \times 10^{14} \ \text{м}^3/\text{с}^2 \]

Это значение получено на основе многолетних данных лазерной локации спутников LAGEOS, LAGEOS-2, а также спутников GPS, ГЛОНАСС и Galileo. Погрешность составляет порядка \( 2 \times 10^{-9} \) от номинала.

Связь с другими параметрами

Масса Земли

Зная \( \mu_{\oplus} \) и гравитационную постоянную \( G \), можно вычислить массу Земли:

\[ M_{\oplus} = \frac{\mu_{\oplus}}{G} \]

Однако \( G \) известна с гораздо меньшей точностью (относительная погрешность около \( 2.2 \times 10^{-5} \)), поэтому масса Земли определяется с точностью \( \approx 10^{-4} \). Современное значение \( M_{\oplus} \) составляет примерно \( 5.9722 \times 10^{24} \) кг.

Гравитационное ускорение

Ускорение свободного падения на поверхности Земли \( g \) связано с \( \mu_{\oplus} \) через радиус Земли \( R_{\oplus} \):

\[ g = \frac{\mu_{\oplus}}{R_{\oplus}^2} \]

Среднее значение \( g \) на уровне моря составляет \( 9.80665 \) м/с², что соответствует \( \mu_{\oplus} = 3.986004418 \times 10^{14} \) м³/с² и среднему радиусу \( R_{\oplus} = 6371 \) км.

Гравитационные потенциалы

В геодезии и геофизике \( \mu_{\oplus} \) используется для разложения гравитационного потенциала Земли в ряд по сферическим гармоникам. Коэффициенты этого разложения (например, \( J_2 \), \( C_{20} \)) описывают отклонения поля от центрально-симметричного, что позволяет моделировать фигуру Земли — геоид.

Применение

Орбитальная механика

Геоцентрическая гравитационная постоянная является основным параметром при расчёте орбит ИСЗ. Зная \( \mu_{\oplus} \), можно определить период обращения спутника на круговой орбите:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu_{\oplus}}} \]

Для геостационарной орбиты (высота около 35786 км) период составляет ровно 24 часа. Отклонения от этого значения, вызванные неоднородностью гравитационного поля, учитываются в алгоритмах навигационных систем.

Космическая навигация

В системах спутниковой навигации, таких как ГЛОНАСС (Россия), GPS (США, оператор — Космические силы США), Galileo (ЕС) и BeiDou (Китай), \( \mu_{\oplus} \) используется для эфемеридного обеспечения. Точность определения координат потребителя напрямую зависит от точности \( \mu_{\oplus} \). В альманахах и эфемеридах спутников передаются параметры орбит, рассчитанные с использованием этого значения.

Геодезия и геофизика

Знание \( \mu_{\oplus} \) необходимо для:

• построения моделей геоида (например, EGM2008, EGM2020);
• изучения вариаций силы тяжести, связанных с приливными деформациями, движением тектонических плит и перераспределением масс внутри Земли;
• калибровки гравиметров и акселерометров на спутниках (например, GRACE, GOCE).

Сравнение с другими небесными телами

Для других планет и тел Солнечной системы также определяются гравитационные постоянные. Например:

• Солнце: \( \mu_{\odot} \approx 1.32712440018 \times 10^{20} \) м³/с²;
• Луна: \( \mu_{\text{Луна}} \approx 4.902800066 \times 10^{12} \) м³/с²;
• Марс: \( \mu_{\text{Марс}} \approx 4.282837 \times 10^{13} \) м³/с².

Отношение \( \mu_{\oplus} \) к \( \mu_{\text{Луна}} \) составляет около 81.3, что соответствует отношению масс Земли и Луны.

Проблемы точности

Несмотря на высокую точность современных измерений \( \mu_{\oplus} \), остаются неопределённости, связанные с:

• долгопериодическими вариациями гравитационного поля из-за перераспределения масс (таяние ледников, движение океанических течений, постгляциальное поднятие);
• релятивистскими эффектами, которые вносят поправки порядка \( 10^{-10} \) в уравнения движения;
• возможными изменениями гравитационной постоянной \( G \) во времени (гипотеза Дирака, теории скалярного поля).

На 2024 год эти эффекты учитываются в рамках стандартных моделей, но их влияние на \( \mu_{\oplus} \) находится на уровне погрешности измерений.

Источники

• IERS Conventions (2010). International Earth Rotation and Reference Systems Service.
• Petit, G., & Luzum, B. (Eds.). (2010). IERS Technical Note No. 36.
• McCarthy, D. D., & Petit, G. (2004). IERS Conventions (2003). IERS Technical Note No. 32.
• Ries, J. C., et al. (1992). Determination of the geocentric gravitational constant from laser ranging to near-Earth satellites. Geophysical Research Letters, 19(6), 529–532.
• Folkner, W. M., et al. (2014). The Planetary and Lunar Ephemerides DE430 and DE431. The Astronomical Journal, 148(3), 53.
• МАС (Международный астрономический союз). Резолюции и стандарты.