Интерполяция

Интерполяция — это способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору её известных значений. В более широком смысле интерполяцией называют всякий метод, позволяющий восстановить функцию по её известным значениям в конечном числе точек, при условии, что искомая функция принадлежит некоторому заранее заданному классу (например, классу многочленов). Интерполяция является фундаментальным понятием вычислительной математики, численного анализа, обработки сигналов и цифровой обработки изображений. От экстраполяции интерполяция отличается тем, что ищет значения внутри интервала, на котором известны исходные данные, а не за его пределами.

Общая постановка задачи

Пусть известны значения некоторой функции \( f(x) \) в точках \( x_0, x_1, \dots, x_n \), которые называются узлами интерполяции. Требуется построить функцию \( F(x) \) из заданного класса (например, многочлен степени не выше \( n \)), такую, что \( F(x_i) = f(x_i) \) для всех \( i = 0, 1, \dots, n \). Такая функция \( F(x) \) называется интерполянтом. Основная задача интерполяции — вычислить значение \( f(x) \) в произвольной точке \( x \), лежащей внутри отрезка \( [x_0, x_n] \), с помощью \( F(x) \). Если \( x \) лежит вне этого отрезка, задача называется экстраполяцией.

Виды интерполяции

Существует множество методов интерполяции, различающихся по типу используемой интерполирующей функции и по вычислительной сложности.

Полиномиальная интерполяция

Наиболее распространённый вид интерполяции, при котором в качестве \( F(x) \) используется алгебраический многочлен степени \( n \). Теоретически, для \( n+1 \) узла существует единственный многочлен степени не выше \( n \), проходящий через все точки. Однако на практике при большом числе узлов (\( n > 10 \)) полиномиальная интерполяция становится неустойчивой из-за эффекта Рунге — сильных осцилляций многочлена на краях интервала. Для построения интерполяционного многочлена используются различные формы записи:

• Интерполяционный многочлен Лагранжа. Представляет собой линейную комбинацию базисных полиномов, каждый из которых равен 1 в своём узле и 0 во всех остальных. Формула Лагранжа удобна для теоретического анализа, но неэффективна при добавлении новых узлов.
• Интерполяционный многочлен Ньютона. Строится с использованием разделённых разностей. Его преимущество — возможность легко добавлять новые узлы, не пересчитывая заново всю формулу. Широко применяется для интерполяции функций, заданных таблично.
• Интерполяция сплайнами. Для преодоления недостатков полиномиальной интерполяции высокой степени на отрезке строится не один многочлен, а несколько многочленов невысокой степени (обычно третьей — кубические сплайны), которые «сшиваются» в узлах с условием непрерывности самой функции и её первых двух производных. Сплайны обеспечивают гладкость и устойчивость интерполяции.

Кусочно-линейная интерполяция

Простейший вид интерполяции, при котором соседние узлы соединяются отрезками прямых. Функция \( F(x) \) на каждом интервале \( [x_i, x_{i+1}] \) является линейной. Этот метод очень прост и быстр, но даёт ломаную линию, не являющуюся гладкой (первая производная терпит разрыв в узлах).

Интерполяция рациональными функциями

Используется, когда функция имеет особенности (полюса), которые плохо аппроксимируются многочленами. Интерполянт строится в виде отношения двух многочленов (рациональной дроби). Метод может давать хорошие результаты для функций с резкими изменениями.

Тригонометрическая интерполяция

Применяется для периодических функций. В качестве интерполянта используется тригонометрический многочлен (сумма синусов и косинусов). Этот метод лежит в основе дискретного преобразования Фурье (ДПФ) и широко используется в обработке сигналов.

Интерполяция по значениям функции многих переменных

Задача обобщается на случай, когда функция зависит от двух и более переменных. Основные подходы включают:

• Билинейная интерполяция. Для функции двух переменных на прямоугольной сетке. Значение в произвольной точке вычисляется как линейная интерполяция сначала по одному направлению, затем по другому.
• Бикубическая интерполяция. Более сложный метод, использующий кубические сплайны по каждому направлению, обеспечивающий гладкость.
• Интерполяция методом ближайшего соседа. Простейший метод, при котором значение в точке приравнивается значению в ближайшем узле сетки. Часто используется в обработке изображений для масштабирования.

Применение интерполяции

Интерполяция является инструментом, используемым в самых разных областях науки и техники.

В математике и численном анализе

• Приближённое вычисление функций. Если функция задана сложной формулой или таблицей, интерполяция позволяет быстро вычислить её значение в любой точке.
• Численное дифференцирование и интегрирование. Формулы численного дифференцирования и квадратурные формулы (например, формулы Симпсона, трапеций) основаны на интерполяции подынтегральной функции.
• Решение дифференциальных уравнений. Многие численные методы (например, метод конечных разностей, метод конечных элементов) используют интерполяцию для аппроксимации решения.

В обработке сигналов и изображений

• Изменение частоты дискретизации. При преобразовании аудиосигнала из одной частоты дискретизации в другую (например, с 44,1 кГц на 48 кГц) используется интерполяция для вычисления новых отсчётов.
• Масштабирование изображений. При увеличении или уменьшении размера цифрового изображения необходимо вычислить значения пикселей в новых координатах. Используются различные методы: билинейная, бикубическая интерполяция, интерполяция Ланцоша.
• Поворот и геометрическая коррекция изображений. Для получения значения пикселя в точке, не совпадающей с узлами исходной сетки, применяется интерполяция.

В компьютерной графике

• Текстурирование. При наложении текстуры на трёхмерную модель значения цвета в точках, не совпадающих с текселями (элементами текстуры), вычисляются с помощью интерполяции.
• Анимация. Для создания плавных переходов между ключевыми кадрами анимации используется интерполяция (tweening) значений параметров (положение, поворот, масштаб).
• Построение кривых и поверхностей. Кривые Безье, B-сплайны и NURBS, широко используемые в САПР и 3D-моделировании, являются формами параметрической интерполяции.

В геоинформационных системах (ГИС)

• Построение цифровых моделей рельефа (ЦМР). По данным высот, измеренным в дискретных точках, с помощью интерполяции (например, методом кригинга, методом обратных взвешенных расстояний) строится непрерывная поверхность рельефа.
• Создание карт изолиний. Значения некоторой величины (температура, давление, загрязнение) интерполируются для построения линий равных значений.

В физике и инженерии

• Обработка экспериментальных данных. Результаты измерений часто представляют собой набор дискретных точек. Интерполяция позволяет восстановить непрерывную зависимость и проанализировать её.
• Метод конечных элементов (МКЭ). В МКЭ решение дифференциального уравнения ищется в виде линейной комбинации базисных функций, которые, по сути, являются интерполяционными функциями на элементах сетки.

Критика и ограничения

Основная проблема интерполяции — это переобучение (оверфиттинг) и неустойчивость. При использовании многочленов высокой степени интерполянт может сильно колебаться между узлами, особенно на краях интервала (эффект Рунге), давая значения, далёкие от истинной функции. Это делает полиномиальную интерполяцию высокой степени непригодной для многих практических задач. Альтернативой является использование сплайнов или более сложных методов, таких как интерполяция радиальными базисными функциями.

Другое ограничение — интерполяция не может предсказать поведение функции за пределами области, где известны данные. Любая экстраполяция, основанная на интерполяции, является крайне ненадёжной.

Также важно различать интерполяцию и аппроксимацию. При аппроксимации не требуется, чтобы кривая проходила точно через все узлы; допускается некоторое отклонение для получения более гладкой функции или для сглаживания шума в данных. Выбор между интерполяцией и аппроксимацией зависит от природы данных и целей исследования.

Источники

1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2006.
2. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.
3. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. — М.: Мир, 1980.
4. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. — М.: Техносфера, 2012.
5. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. — М.: Техносфера, 2006.