Коммутативное кольцо

Коммутативное кольцо — это алгебраическая структура, являющаяся частным случаем кольца, в которой операция умножения подчиняется закону коммутативности. Коммутативные кольца составляют фундаментальный объект изучения в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии, где они служат алгебраической основой для описания аффинных схем.

Определение и основные свойства

Коммутативное кольцо — это множество \( R \), на котором определены две бинарные операции: сложение (\(+\)) и умножение (\(\cdot\)), удовлетворяющие следующим аксиомам:

1. Абелева группа по сложению:

• Ассоциативность сложения: \((a+b)+c = a+(b+c)\) для всех \(a,b,c \in R\).
• Коммутативность сложения: \(a+b = b+a\) для всех \(a,b \in R\).
• Существование нейтрального элемента (нуля): существует элемент \(0 \in R\) такой, что \(a+0 = a\) для всех \(a \in R\).
• Существование противоположного элемента: для каждого \(a \in R\) существует элемент \(-a \in R\) такой, что \(a+(-a)=0\).

1. Моноид по умножению:

• Ассоциативность умножения: \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\) для всех \(a,b,c \in R\).
• Коммутативность умножения: \(a \cdot b = b \cdot a\) для всех \(a,b \in R\).
• Существование нейтрального элемента (единицы): существует элемент \(1 \in R\) такой, что \(1 \cdot a = a\) для всех \(a \in R\). (В некоторых определениях, особенно в классической алгебре, существование единицы не обязательно, но в современной коммутативной алгебре кольцо по умолчанию считается ассоциативным, коммутативным и с единицей).

1. Дистрибутивность: Умножение дистрибутивно относительно сложения: \(a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c\) и \((a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\) для всех \(a,b,c \in R\).

Из этих аксиом выводятся стандартные свойства, такие как \(a \cdot 0 = 0\) и \((-a) \cdot b = -(a \cdot b)\) для всех \(a,b \in R\).

Примеры

Наиболее известными примерами коммутативных колец являются:

• Кольцо целых чисел \(\mathbb{Z}\) с обычными операциями сложения и умножения.
• Кольцо вычетов по модулю \(n\) \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) (или \(\mathbb{Z}_n\)), где \(n\) — натуральное число. Операции выполняются по модулю \(n\).
• Кольцо многочленов \(R[x]\) от одной переменной \(x\) с коэффициентами из коммутативного кольца \(R\). Аналогично определяются кольца многочленов от нескольких переменных \(R[x_1, x_2, \dots, x_n]\).
• Кольцо непрерывных функций \(C(X, \mathbb{R})\) на топологическом пространстве \(X\) со значениями в \(\mathbb{R}\). Сложение и умножение определяются поточечно.
• Поле — это коммутативное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент обратим (имеет мультипликативный обратный). Примеры: \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{F}_p\) (поле из \(p\) элементов).

Классификация и важные подклассы

Коммутативные кольца классифицируются по наличию или отсутствию определённых свойств, связанных с делимостью и отсутствием делителей нуля.

Области целостности

Область целостности (или целостное кольцо) — это коммутативное кольцо с единицей, в котором нет делителей нуля, то есть если \(a \cdot b = 0\), то \(a=0\) или \(b=0\). Примеры: \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{R}[x]\), любое поле. Кольцо \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) не является областью целостности, так как \(2 \cdot 3 = 0\) по модулю 6.

Кольца главных идеалов

Кольцо главных идеалов (КГИ) — это область целостности, в которой каждый идеал является главным, то есть порождается одним элементом. Примеры: \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{F}[x]\) (кольцо многочленов над полем \(\mathbb{F}\)). Кольцо \(\mathbb{Z}[x]\) не является КГИ.

Факториальные кольца

Факториальное кольцо (или кольцо с однозначным разложением на множители, УФК) — это область целостности, в которой каждый ненулевой необратимый элемент может быть однозначно (с точностью до порядка и умножения на обратимые элементы) разложен в произведение простых элементов. Примеры: \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{R}[x]\), \(\mathbb{Z}[x]\). Кольцо \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\) не является факториальным, так как \(6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})\) — два различных разложения.

Евклидовы кольца

Евклидово кольцо — это область целостности, в которой определена евклидова норма (функция степени), позволяющая выполнять алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя. Любое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов. Примеры: \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{F}[x]\), кольцо гауссовых целых чисел \(\mathbb{Z}[i]\).

Локальные кольца

Локальное кольцо — это кольцо, имеющее ровно один максимальный идеал. Примеры: любое поле, кольцо формальных степенных рядов \(F[[x]]\), кольцо рациональных чисел с нечётным знаменателем \(\mathbb{Z}_{(2)}\).

Идеалы и факторкольца

Центральное понятие в теории коммутативных колец — идеал. Идеал \(I\) кольца \(R\) — это подмножество, замкнутое относительно сложения и умножения на любой элемент из \(R\) (то есть \(r \cdot i \in I\) для всех \(r \in R, i \in I\)). По идеалу строится факторкольцо \(R/I\), которое также является коммутативным кольцом. Например, \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) — это факторкольцо \(\mathbb{Z}\) по идеалу \(n\mathbb{Z}\).

Идеалы позволяют изучать свойства кольца через его «простые» составляющие. Простой идеал — это идеал \(P\) такой, что факторкольцо \(R/P\) является областью целостности. Максимальный идеал — это идеал \(M\) такой, что факторкольцо \(R/M\) является полем.

Применение в алгебраической геометрии

Коммутативные кольца являются основой алгебраической геометрии. Основная идея заключается в установлении взаимно однозначного соответствия (антиэквивалентности категорий) между аффинными алгебраическими многообразиями (или, в более общем виде, аффинными схемами) и коммутативными кольцами.

• Аффинное многообразие \(V\) над полем \(k\) задаётся как множество решений системы полиномиальных уравнений. Ему сопоставляется координатное кольцо \(k[V]\), которое является факторкольцом кольца многочленов \(k[x_1, \dots, x_n]\) по идеалу, порождённому этими уравнениями.
• Обратно, любому коммутативному кольцу \(R\) соответствует спектр кольца \(\operatorname{Spec}(R)\) — топологическое пространство, точками которого являются простые идеалы \(R\). Это пространство, снабжённое пучком колец, образует аффинную схему.

Таким образом, геометрические свойства многообразия (например, гладкость, размерность, неприводимость) переводятся на алгебраический язык свойств соответствующего кольца (регулярность, размерность Крулля, целостность). Например, точка многообразия является гладкой тогда и только тогда, когда локальное кольцо в этой точке является регулярным.

Теория размерности

Размерность Крулля коммутативного кольца \(R\) — это максимальная длина цепочки строго вложенных простых идеалов. Для поля размерность равна 0, для кольца \(\mathbb{Z}\) — 1, для кольца многочленов \(\mathbb{C}[x_1, \dots, x_n]\) — \(n\). Эта размерность является фундаментальным инвариантом, который в алгебраической геометрии соответствует размерности алгебраического многообразия.

Важные теоремы

В теории коммутативных колец существует ряд фундаментальных результатов:

• Теорема Гильберта о базисе: Если \(R\) — нётерово кольцо (каждый идеал конечно порождён), то кольцо многочленов \(R[x]\) также нётерово. Это гарантирует, что любое алгебраическое многообразие может быть задано конечным числом уравнений.
• Теорема о нулях Гильберта (Nullstellensatz): Устанавливает точное соответствие между алгебраическими множествами в аффинном пространстве \(\mathbb{A}^n_k\) над алгебраически замкнутым полем \(k\) и радикальными идеалами кольца многочленов \(k[x_1, \dots, x_n]\).
• Лемма Накаямы: Важный технический результат, используемый для изучения модулей над локальными кольцами. Она, в частности, утверждает, что если модуль конечно порождён и его образ в факторкольце по максимальному идеалу равен нулю, то сам модуль равен нулю.

Источники

1. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
2. Мацумура Х. Коммутативная алгебра. — М.: Мир, 1986.
3. Айзенбад Д. Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии. — М.: МЦНМО, 2019.
4. Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.