Критерий Эйзенштейна

Критерий Эйзенштейна — это достаточное условие неприводимости многочлена над полем рациональных чисел (или, более общо, над полем частных факториального кольца). Критерий назван в честь немецкого математика Фердинанда Готтхольда Эйзенштейна, опубликовавшего его в 1850 году. Критерий широко применяется в алгебре и теории чисел для доказательства того, что данный многочлен не может быть разложен на произведение многочленов меньшей степени с рациональными коэффициентами.

Формулировка

Пусть \( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \) — многочлен с целыми коэффициентами. Если существует такое простое число \( p \), что:

1. \( p \) делит все коэффициенты \( a_0, a_1, \dots, a_{n-1} \), кроме старшего коэффициента \( a_n \);
2. \( p \) не делит \( a_n \);
3. \( p^2 \) не делит \( a_0 \);

то многочлен \( P(x) \) неприводим над полем рациональных чисел \( \mathbb{Q} \).

Обобщение на факториальные кольца

Критерий Эйзенштейна можно сформулировать для многочленов над произвольным факториальным кольцом \( R \). Пусть \( P(x) \in R[x] \) — многочлен степени \( n \ge 1 \). Если существует простой элемент \( p \in R \), такой что:

• \( p \) делит все коэффициенты, кроме старшего;
• \( p \) не делит старший коэффициент;
• \( p^2 \) не делит свободный член;

то многочлен \( P(x) \) неприводим над полем частных кольца \( R \).

История

Критерий был впервые опубликован Эйзенштейном в 1850 году в статье «Über die Irreductibilität der ganzen algebraischen Gleichungen» (О неприводимости целых алгебраических уравнений). Эйзенштейн, ученик Карла Фридриха Гаусса, работал в области теории чисел и алгебраической геометрии. Критерий стал важным инструментом для доказательства неприводимости многочленов, что было необходимо для построения теории полей и алгебраических чисел.

Доказательство

Доказательство критерия Эйзенштейна основано на лемме Гаусса и свойствах простых чисел. Предположим, что многочлен \( P(x) \) удовлетворяет условиям критерия, но является приводимым: \( P(x) = Q(x) R(x) \), где \( Q(x) \) и \( R(x) \) — многочлены с целыми коэффициентами степени не менее 1. Пусть \( Q(x) = b_k x^k + \dots + b_0 \), \( R(x) = c_m x^m + \dots + c_0 \), причём \( k+m = n \). Тогда свободный член \( a_0 = b_0 c_0 \) делится на \( p \), но не на \( p^2 \). Следовательно, ровно один из \( b_0, c_0 \) делится на \( p \). Без ограничения общности, пусть \( p \mid b_0 \), но \( p \nmid c_0 \). Рассмотрим старший коэффициент \( a_n = b_k c_m \); по условию \( p \nmid a_n \), значит \( p \nmid b_k \) и \( p \nmid c_m \). Пусть \( r \) — наименьший индекс, такой что \( p \nmid b_r \). Тогда \( r \ge 1 \), так как \( p \mid b_0 \). Коэффициент \( a_r = b_r c_0 + b_{r-1} c_1 + \dots + b_0 c_r \). Все слагаемые, кроме \( b_r c_0 \), делятся на \( p \), так как содержат множитель \( b_{r-1}, \dots, b_0 \), которые делятся на \( p \). Но \( b_r c_0 \) не делится на \( p \), так как \( p \nmid b_r \) и \( p \nmid c_0 \). Следовательно, \( a_r \) не делится на \( p \). Однако по условию критерия \( p \) делит все коэффициенты, кроме старшего, то есть \( p \mid a_r \) для всех \( r < n \). Противоречие. Значит, многочлен неприводим.

Примеры применения

Пример 1: Многочлен \( x^3 - 2 \)

Рассмотрим \( P(x) = x^3 - 2 \). Выберем \( p = 2 \). Коэффициенты: \( a_3 = 1 \) (не делится на 2), \( a_2 = 0 \), \( a_1 = 0 \), \( a_0 = -2 \). Условия:

• \( p = 2 \) делит \( a_0 = -2 \), \( a_1 = 0 \), \( a_2 = 0 \) (все, кроме старшего);
• \( p \) не делит \( a_3 = 1 \);
• \( p^2 = 4 \) не делит \( a_0 = -2 \).

Таким образом, многочлен \( x^3 - 2 \) неприводим над \( \mathbb{Q} \). Это означает, что корень \( \sqrt[3]{2} \) не может быть выражен через рациональные числа с помощью арифметических операций и извлечения квадратных корней.

Пример 2: Многочлен \( 2x^5 + 6x^4 + 3x^2 + 9 \)

Выберем \( p = 3 \). Коэффициенты: \( a_5 = 2 \) (не делится на 3), \( a_4 = 6 \) (делится на 3), \( a_3 = 0 \), \( a_2 = 3 \) (делится на 3), \( a_1 = 0 \), \( a_0 = 9 \) (делится на 3). Проверяем:

• \( p \) делит все коэффициенты, кроме старшего: \( a_4, a_2, a_0 \) делятся на 3;
• \( p \) не делит \( a_5 = 2 \);
• \( p^2 = 9 \) делит \( a_0 = 9 \)? Нет, \( 9 \) делится на \( 9 \), но условие требует, чтобы \( p^2 \) не делило \( a_0 \). Здесь \( a_0 = 9 \) делится на \( 9 \), поэтому критерий не применим. Многочлен может быть приводимым или неприводимым — критерий не даёт ответа.

Пример 3: Многочлен \( x^4 + 1 \)

Для \( x^4 + 1 \) условие критерия Эйзенштейна не выполняется ни для какого простого \( p \), так как свободный член равен 1, а все остальные коэффициенты, кроме старшего, равны 0. Однако этот многочлен неприводим над \( \mathbb{Q} \), что доказывается другими методами (например, с помощью замены \( x \to x+1 \) и применения критерия Эйзенштейна к полученному многочлену).

Связь с другими методами

Критерий Эйзенштейна является частным случаем более общего критерия, основанного на редукции по модулю простого числа. Если многочлен \( P(x) \) после редукции по модулю \( p \) (приведения коэффициентов по модулю \( p \)) становится неприводимым над полем \( \mathbb{F}_p \), то исходный многочлен неприводим над \( \mathbb{Q} \). Критерий Эйзенштейна соответствует случаю, когда редуцированный многочлен имеет вид \( a_n x^n \), то есть все коэффициенты, кроме старшего, обращаются в нуль по модулю \( p \). Такой многочлен, очевидно, неприводим над \( \mathbb{F}_p \), если \( p \nmid a_n \).

Ограничения и критика

Критерий Эйзенштейна является достаточным, но не необходимым условием неприводимости. Существуют неприводимые многочлены, для которых не существует простого числа \( p \), удовлетворяющего условиям (например, \( x^4 + 1 \)). Кроме того, критерий не применим, если свободный член многочлена равен 0, так как в этом случае \( p^2 \) делит \( a_0 = 0 \) для любого \( p \). В таких случаях многочлен заведомо приводим, так как имеет корень 0. Для многочленов с рациональными коэффициентами критерий применяется после приведения к целым коэффициентам путём умножения на общий знаменатель.

Применение в теории чисел

Критерий Эйзенштейна используется для построения полей алгебраических чисел. Например, многочлен \( x^n - p \), где \( p \) — простое число, неприводим по критерию Эйзенштейна (с тем же \( p \)). Это доказывает, что степень расширения \( \mathbb{Q}(\sqrt[n]{p}) \) равна \( n \). Аналогично, многочлены вида \( x^n - a \), где \( a \) не является \( p \)-й степенью в \( \mathbb{Q} \) для некоторого простого \( p \), могут быть исследованы с помощью этого критерия.

Интересные факты

• Критерий Эйзенштейна можно обобщить на многочлены от нескольких переменных, используя понятие веса и замены переменных.
• Существует аналог критерия для колец многочленов над полем, где роль простого числа играет неприводимый многочлен.
• Эйзенштейн также известен своими работами по эллиптическим функциям и теории форм, но критерий остаётся его самым известным вкладом в алгебру.

Источники

• Эйзенштейн Ф. Г. «Über die Irreductibilität der ganzen algebraischen Gleichungen», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1850.
• Ленг С. «Алгебра», 3-е издание, Springer, 2002.
• Ван дер Варден Б. Л. «Алгебра», 7-е издание, Springer, 1991.
• Кострикин А. И. «Введение в алгебру», часть 2, МЦНМО, 2004.