Квартиль

Квартиль — это одна из четырёх равных частей, на которые делится упорядоченная по возрастанию совокупность данных (например, выборка значений). В статистике квартили используются для описания распределения, выявления разброса и обнаружения выбросов. Квартили являются частным случаем квантилей, а именно — квантилями порядка 0,25 (первый квартиль), 0,5 (второй квартиль, совпадающий с медианой) и 0,75 (третий квартиль). Разность между третьим и первым квартилями называется межквартильным размахом и служит мерой изменчивости данных, устойчивой к выбросам.

Определение и основные понятия

Пусть имеется упорядоченная по возрастанию выборка \(X_1 \le X_2 \le \dots \le X_n\). Тогда:

• Первый квартиль (\(Q_1\)) — значение, ниже которого находятся 25% данных (или значение, соответствующее 0,25 квантилю).
• Второй квартиль (\(Q_2\)) — медиана, то есть значение, делящее выборку пополам (50% данных ниже, 50% выше).
• Третий квартиль (\(Q_3\)) — значение, ниже которого находятся 75% данных (или значение, соответствующее 0,75 квантилю).

Иногда выделяют также нулевой квартиль (\(Q_0\)) — минимальное значение выборки, и четвёртый квартиль (\(Q_4\)) — максимальное значение, однако эти термины используются редко.

Квартили являются робастными (устойчивыми) статистиками: они мало чувствительны к выбросам, в отличие от среднего арифметического. Поэтому их часто применяют при анализе распределений с асимметрией или с большим количеством экстремальных значений.

Методы вычисления

Существует несколько способов расчёта квартилей, различающихся в деталях интерполяции. Наиболее распространённые методы:

Метод 1 (по определению для дискретного ряда)

Если объём выборки \(n\) невелик, квартили можно найти по порядковым номерам:

• Позиция \(Q_1\): \( \frac{n+1}{4} \)
• Позиция \(Q_2\): \( \frac{n+1}{2} \)
• Позиция \(Q_3\): \( \frac{3(n+1)}{4} \)

Если позиция не целая, берут линейную интерполяцию между соседними значениями.

Метод 2 (метод Тьюки)

Для выборки, упорядоченной по возрастанию:

• \(Q_2\) — медиана.
• \(Q_1\) — медиана левой половины данных (от минимума до \(Q_2\), не включая \(Q_2\), если \(n\) нечётно).
• \(Q_3\) — медиана правой половины данных.

Этот метод даёт результаты, близкие к первому, но не идентичные для малых выборок.

Метод 3 (метод Мур-Маккейба)

Использует весовые коэффициенты при интерполяции, что обеспечивает несмещённость оценки для нормального распределения.

В статистических пакетах (R, Python, SPSS) применяются разные алгоритмы, поэтому при сравнении результатов важно указывать метод вычисления.

Пример

Рассмотрим выборку из 11 чисел: 3, 5, 7, 8, 12, 13, 14, 18, 21, 23, 25.

• Упорядоченный ряд: 3, 5, 7, 8, 12, 13, 14, 18, 21, 23, 25.
• \(n = 11\).
• Позиция \(Q_1\): \((11+1)/4 = 3\). Третье значение — 7. Значит, \(Q_1 = 7\).
• Позиция \(Q_2\): \((11+1)/2 = 6\). Шестое значение — 13. \(Q_2 = 13\).
• Позиция \(Q_3\): \(3(11+1)/4 = 9\). Девятое значение — 21. \(Q_3 = 21\).

Межквартильный размах: \(IQR = Q_3 - Q_1 = 21 - 7 = 14\).

Применение

Описательная статистика

Квартили используются в пятичисловой сводке (минимум, \(Q_1\), медиана, \(Q_3\), максимум), которая даёт сжатое описание распределения. На её основе строятся ящичные диаграммы (box plots), где «ящик» ограничен \(Q_1\) и \(Q_3\), а «усы» — обычно до 1,5 межквартильных размахов от краёв ящика. Точки за пределами «усов» считаются потенциальными выбросами.

Оценка асимметрии

Сравнение расстояний от медианы до \(Q_1\) и от \(Q_3\) до медианы позволяет судить об асимметрии распределения. Если \(Q_3 - Q_2 > Q_2 - Q_1\), распределение скошено вправо (положительная асимметрия), и наоборот.

Финансовая аналитика

В финансах квартили применяются для анализа доходности активов, оценки рисков (например, Value at Risk на основе квартилей) и построения перцентильных рейтингов. Например, акции, доходность которых попадает в первый квартиль, считаются низкодоходными, а в четвёртый — высокодоходными.

Образование и психометрия

В педагогических тестах и психологических шкалах квартили используются для нормирования результатов: например, испытуемые, чей балл ниже \(Q_1\), относятся к группе с низкими показателями, выше \(Q_3\) — к группе с высокими.

Медицина и эпидемиология

Квартили применяют для стратификации пациентов по уровням биомаркеров, артериального давления, индекса массы тела и других показателей. Это позволяет выделить группы риска и анализировать распределение факторов.

Связь с другими статистическими показателями

• Медиана — второй квартиль.
• Квантили — обобщение: квартили — это квантили порядка 0,25, 0,5 и 0,75.
• Процентили — частный случай квантилей, где порядок выражен в процентах. Первый квартиль соответствует 25-му процентилю, третий — 75-му.
• Децили — делят выборку на 10 равных частей. Квартили можно выразить через децили: \(Q_1\) — 2,5-й дециль, \(Q_2\) — 5-й дециль, \(Q_3\) — 7,5-й дециль.
• Межквартильный размах (IQR) — устойчивая мера разброса, используемая, например, в правиле Тьюки для выявления выбросов: выбросом считается значение, выходящее за пределы \([Q_1 - 1,5 \cdot IQR; Q_3 + 1,5 \cdot IQR]\).

Ограничения и критика

• Квартили не учитывают форму распределения внутри интервалов: два разных распределения могут иметь одинаковые квартили, но разную плотность.
• При малом объёме выборки (менее 10–15 наблюдений) оценки квартилей становятся неустойчивыми и сильно зависят от метода расчёта.
• Для мультимодальных распределений квартили могут давать неинформативное описание, скрывая наличие нескольких пиков.
• В некоторых областях (например, в анализе доходов) использование квартилей может маскировать крайнюю неравномерность, если выбросы не удалены.

История

Понятие квартиля восходит к работам английского статистика Фрэнсиса Гальтона, который в конце XIX века ввёл термины «квартиль» и «межквартильный размах» для анализа антропометрических данных. В 1970-х годах американский статистик Джон Тьюки популяризировал использование квартилей в рамках разведочного анализа данных, предложив ящичную диаграмму и правило 1,5 IQR для выявления выбросов. В современной статистике квартили являются стандартным инструментом описательной статистики, включённым во все основные статистические пакеты.

Источники

• Тьюки Дж. Разведочный анализ данных. — М.: Мир, 1981.
• Гальтон Ф. Естественная наследственность. — London: Macmillan, 1889.
• Хайндман Р. Дж., Фан Ю. Выборочные квантили в статистических пакетах // The American Statistician. — 1996. — Vol. 50, No. 4. — P. 361–365.
• Мостеллер Ф., Тьюки Дж. Анализ данных и регрессия. — М.: Финансы и статистика, 1982.