Линейная связность

Линейная связность — одно из фундаментальных понятий топологии, описывающее свойство топологического пространства быть «состоящим из одного куска» в том смысле, что любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, лежащей целиком внутри этого пространства. Линейная связность является более сильным свойством, чем обычная (компонентная) связность, и играет ключевую роль в таких разделах математики, как анализ, теория гомотопий и теория графов.

Определение

Топологическое пространство \( X \) называется линейно связным (или дугообразно связным), если для любых двух точек \( x, y \in X \) существует непрерывное отображение \( \gamma \colon [0,1] \to X \) (называемое путём или кривой) такое, что \( \gamma(0) = x \) и \( \gamma(1) = y \). Отрезок \( [0,1] \) рассматривается с обычной евклидовой топологией.

Подмножество \( A \subset X \) называется линейно связным, если оно является линейно связным пространством в индуцированной топологии.

Связь с обычной связностью

Всякое линейно связное пространство является связным. Обратное, вообще говоря, неверно: существуют связные, но не линейно связные пространства. Классический пример — «замкнутая синусоида», также известная как топологическая синусоида Топологова:

\[ S = \left\{ \left(x, \sin\frac{1}{x}\right) \mid 0 < x \leq 1 \right\} \cup \{(0, y) \mid -1 \leq y \leq 1\}. \]

Это множество связно, однако точка \( (0,0) \) и любая точка на правой части графика не могут быть соединены путём внутри \( S \), так как путь, начинающийся в \( (0,0) \), должен немедленно «прыгнуть» на колебательную часть, что невозможно из-за бесконечного числа колебаний.

Однако в локально-евклидовых пространствах (например, в многообразиях) эти понятия совпадают. Для подмножеств евклидова пространства \( \mathbb{R}^n \) линейная связность эквивалентна связности, если множество является открытым или, более общо, локально линейно связным.

Компоненты линейной связности

Максимальное (по включению) линейно связное подмножество топологического пространства называется компонентой линейной связности (или дугокомпонентой). В отличие от компонент связности, компоненты линейной связности не обязательно замкнуты; они могут быть открытыми, замкнутыми или ни теми, ни другими, но всегда являются линейно связными.

Отношение «две точки можно соединить непрерывным путём» является отношением эквивалентности на множестве точек пространства. Каждый класс эквивалентности — это в точности компонента линейной связности.

Число компонент линейной связности — важная топологическая характеристика. Например, для графа оно равно числу «кусков», из которых состоит граф.

Примеры и контрпримеры

Примеры линейно связных пространств

1. Любое выпуклое подмножество евклидова пространства (например, шар, куб, вся плоскость) линейно связно: точки соединяются отрезком прямой.
2. Любая сфера \( S^n \) при \( n \geq 1 \) линейно связна (любые две точки можно соединить дугой большого круга). Исключение — сфера \( S^0 \) (две точки), которая нелинейно связна.
3. Всякое топологическое многообразие (связное) является линейно связным.
4. Любое односвязное пространство (например, \( \mathbb{R}^n \), \( S^n \) при \( n>1 \)) всегда линейно связно.
5. Прямая \( \mathbb{R}^1 \) и её интервалы.
6. Группа Ли \( SO(3) \) (группа вращений трёхмерного пространства) линейно связна.

Контрпримеры (нелинейно связные пространства)

1. Дискретное пространство с более чем одной точкой: каждая точка — отдельная компонента.
2. Канторово множество: хотя оно связно? (нет, оно вполне несвязно), но оно нелинейно связно, так как не содержит непрерывных кривых между разными точками — любое непрерывное отображение из \( [0,1] \) в канторово множество постоянно.
3. «Гребёнка»: множество

\[ \left\{(x,0) \mid 0 \le x \le 1\right\} \cup \left\{ \left(\frac{1}{n}, y\right) \mid n\in\mathbb{N}, 0 \le y \le 1 \right\} \] — связное, но не линейно связное: точка \( (0,1) \) не соединяется путём с остальной частью.

1. Пространство рациональных чисел \( \mathbb{Q} \) с евклидовой топологией: оно нульмерно и компоненты — точки.

Применение в топологии

Линейная связность — необходимое условие для многих теорем топологии:

• Гомотопическая эквивалентность двух пространств обычно рассматривается в классе линейно связных пространств. Фундаментальная группа определяется с точностью до изоморфизма только для линейно связных пространств, и для них она не зависит от выбора базовой точки.
• Теория накрытий: накрывающие пространства линейно связного и локально линейно связного базового пространства классифицируются подгруппами фундаментальной группы.
• Теорема Брауэра о неподвижной точке и теорема Жордана о кривой существенно используют связность и линейную связность.
• Теория графов: граф (как топологическое пространство) линейно связен тогда и только тогда, когда он является связным графом в обычном смысле. Компоненты линейной связности графа соответствуют его связным компонентам.

Интересные факты

• Понятие линейной связности обобщается в теории гомотопий до понятия n-связности, где требуется, чтобы все сферы размерности меньше \( n \) допускали непрерывное отображение в пространство, стягиваемое в точку.
• В комплексном анализе линейно связное открытое множество называется областью. Для областей в \( \mathbb{C} \) верна теорема Коши об интеграле: интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру равен нулю.
• Существуют пространства, в которых любые две точки можно соединить кривой, не являющейся гомеоморфной отрезку — например, дугой Пеано (сплошное заполнение квадрата), но это всё равно непрерывный путь, следовательно, пространство линейно связно.
• В 1920-х годах советский математик Павел Сергеевич Урысон заложил основы теории размерности и активно изучал свойства связности и линейной связности, в частности, построил примеры «неестественных» линейно связных множеств.

Источники

1. Келли Дж. Л. «Общая топология» — М.: Наука, 1968.
2. Александров П. С., Пасынков Б. А. «Введение в теорию размерности» — М.: Наука, 1973.
3. Энгелькинг Р. «Общая топология» — М.: Мир, 1986.
4. Хатчер А. «Алгебраическая топология» — М.: МЦНМО, 2011.
5. Бредихин Д. А. «Топология» — учебное пособие для вузов — М.: Физматлит, 2018.