локальная топология¶

Локальная топология — это раздел общей топологии, изучающий свойства топологических пространств, которые определяются поведением в сколь угодно малой окрестности каждой точки. В отличие от глобальной топологии, исследующей пространство в целом (например, связность или компактность), локальная топология сосредоточена на том, как устроена окрестность отдельной точки. Основными понятиями являются локальная компактность, локальная связность, локальная конечность и локальная гомеоморфность.

¶Основные определения и понятия

Локальная топология опирается на понятие окрестности. Окрестностью точки \(x\) в топологическом пространстве \(X\) называется любое открытое множество, содержащее \(x\). Свойство называется локальным, если оно выполняется для каждой точки в некоторой её окрестности. Формально, свойство \(P\) является локальным, если для каждой точки \(x \in X\) существует окрестность \(U_x\) такая, что подпространство \(U_x\) обладает свойством \(P\).

¶Локальная компактность

Пространство \(X\) называется локально компактным, если каждая его точка имеет окрестность, замыкание которой компактно. Это одно из важнейших локальных свойств, широко используемое в анализе и геометрии. Например, евклидово пространство \(\mathbb{R}^n\) локально компактно, так как замкнутый шар вокруг любой точки компактен. В то же время, бесконечномерное гильбертово пространство не является локально компактным.

Локальная компактность не влечёт глобальную компактность: прямая \(\mathbb{R}\) локально компактна, но не компактна. Однако в хаусдорфовых пространствах локальная компактность позволяет строить одноточечные компактификации (компактификация Александрова).

¶Локальная связность

Пространство \(X\) называется локально связным, если для каждой точки \(x\) и любой её окрестности \(U\) существует связная окрестность \(V\) такая, что \(x \in V \subset U\). Иными словами, пространство локально связно, если его база состоит из связных множеств. Например, любое открытое подмножество \(\mathbb{R}^n\) локально связно. Однако существуют связные, но не локально связные пространства — например, «гребёнка» (объединение отрезков, сходящихся к одной точке) или «синусоида тополога» (замыкание графика \(\sin(1/x)\)).

Локальная связность является необходимым условием для того, чтобы компоненты связности были открытыми множествами. В локально связном пространстве каждая компонента связности открыта.

¶Локальная конечность

Семейство подмножеств \(\{A_i\}_{i \in I}\) топологического пространства \(X\) называется локально конечным, если для каждой точки \(x \in X\) существует окрестность, пересекающаяся лишь с конечным числом множеств семейства. Это понятие играет ключевую роль в теории размерности и при построении разбиений единицы. Например, в \(\mathbb{R}\) семейство интервалов \((n, n+2)\) для \(n \in \mathbb{Z}\) локально конечно, а семейство \((0, 1/n)\) — нет.

Локально конечное семейство замкнутых множеств имеет замкнутое объединение, что важно в алгебраической топологии и теории многообразий.

¶Локальная гомеоморфность

Отображение \(f: X \to Y\) называется локальным гомеоморфизмом, если для каждой точки \(x \in X\) существует окрестность \(U_x\) такая, что \(f\) отображает \(U_x\) гомеоморфно на открытое подмножество \(Y\). Пространство \(X\) называется локально гомеоморфным пространству \(Y\), если каждая точка \(X\) имеет окрестность, гомеоморфную некоторому открытому множеству \(Y\). Например, любое многообразие локально гомеоморфно \(\mathbb{R}^n\). Локальные гомеоморфизмы являются основой для построения накрытий и локально тривиальных расслоений.

¶История развития

Истоки локальной топологии восходят к работам Камиля Жордана и Бернхарда Римана в XIX веке, которые изучали локальные свойства поверхностей. Однако систематическое развитие началось в начале XX века с работ Анри Пуанкаре и Давида Гильберта. Пуанкаре ввёл понятие локального гомеоморфизма в контексте анализа situs (топологии). В 1910-х годах Пауль Александров и Павел Урысон заложили основы общей топологии, включая локальную компактность и локальную связность. Урысон в 1924 году сформулировал метризационную теорему, которая тесно связана с локальными свойствами пространств.

В 1930-х годах Хасслер Уитни и Джон Милнор развили теорию локальных гомеоморфизмов и накрытий, что привело к созданию теории многообразий. Локальная топология стала фундаментом для дифференциальной геометрии и топологии, где локальные координаты и локальные гомеоморфизмы являются основными инструментами.

¶Классификация локальных свойств

Локальные свойства можно разделить на несколько категорий:

¶Топологические инварианты

Локальные свойства, сохраняющиеся при гомеоморфизмах, называются локальными топологическими инвариантами. К ним относятся локальная компактность, локальная связность, локальная односвязность и локальная конечность. Например, если пространство локально компактно, то любое гомеоморфное ему пространство также локально компактно.

¶Свойства, связанные с размерностью

Локальная размерность (например, локальная евклидова размерность) определяет, что каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому шару в \(\mathbb{R}^n\). Это свойство характеризует многообразия. Локальная размерность может быть непостоянной на пространстве — например, в букете окружностей точки пересечения имеют размерность 0, а остальные — 1.

¶Свойства, связанные с метризуемостью

Локально метризуемые пространства — это пространства, каждая точка которых имеет метризуемую окрестность. Все многообразия локально метризуемы. Локальная метризуемость не влечёт глобальную метризуемость, но в комбинации с паракомпактностью и хаусдорфовостью даёт метризуемость (теорема Смирнова — Нагаты).

¶Применение в математике

Локальная топология является инструментом во многих разделах математики:

¶В анализе

Локальная компактность используется при построении интеграла Лебега на локально компактных группах (теория Хаара). Локальная связность важна для теории функций комплексного переменного: область в \(\mathbb{C}\) локально связна, что гарантирует существование первообразной.

¶В геометрии

Многообразия определяются как хаусдорфовы пространства, локально гомеоморфные \(\mathbb{R}^n\). Локальная топология позволяет переносить евклидовы понятия (например, дифференцируемость) на произвольные многообразия. Локальные гомеоморфизмы лежат в основе теории накрытий, где каждое накрытие является локальным гомеоморфизмом.

¶В алгебраической топологии

Локальная конечность используется при построении симплициальных комплексов и CW-комплексов. Локально конечные покрытия позволяют применять теорию гомологий и когомологий. Понятие локальной стягиваемости (каждая точка имеет стягиваемую окрестность) является условием для применимости теоремы Гуревича.

¶В теории размерности

Локальная размерность (индуктивная размерность) определяется через локальные свойства. Пространство имеет размерность \(n\), если каждая точка имеет сколь угодно малые окрестности с границами размерности \(n-1\). Локальная конечность покрытий используется при определении покрывающей размерности (dim).

¶Примеры и контрпримеры

¶Примеры

1. Евклидово пространство \(\mathbb{R}^n\): локально компактно, локально связно, локально односвязно, локально гомеоморфно самому себе.
2. Окружность \(S^1\): локально гомеоморфна \(\mathbb{R}\), локально компактна, локально связна.
3. Канторово множество: локально несвязно (каждая точка имеет сколь угодно малую окрестность, не являющуюся связной), но локально компактно.
4. Поверхность сферы \(S^2\): локально гомеоморфна \(\mathbb{R}^2\), локально компактна, локально односвязна.

¶Контрпримеры

1. «Синусоида тополога» (замыкание графика \(\sin(1/x)\) при \(x>0\) с добавлением отрезка на оси \(y\)): связна, но не локально связна в точках оси \(y\).
2. Пространство рациональных чисел \(\mathbb{Q}\) с обычной топологией: не является локально компактным, так как любая окрестность рациональной точки содержит последовательность, не имеющую сходящейся подпоследовательности.
3. Бесконечномерное гильбертово пространство: не локально компактно, хотя локально связно.

¶Связь с глобальной топологией

Локальные свойства часто являются необходимыми, но не достаточными для глобальных. Например, локальная связность не гарантирует связность пространства в целом (пространство может быть локально связным, но состоять из нескольких компонент связности). Однако в некоторых случаях локальные свойства влекут глобальные: например, локально компактное и паракомпактное хаусдорфово пространство является метризуемым (теорема Смирнова). Локальная односвязность является условием для существования универсального накрытия.

¶Источники

• Александров П. С., Урысон П. С. «Мемуар о компактных топологических пространствах». — М.: Наука, 1971.
• Бурбаки Н. «Общая топология. Основные структуры». — М.: Мир, 1968.
• Келли Дж. «Общая топология». — М.: Наука, 1981.
• Энгелькинг Р. «Общая топология». — М.: Мир, 1986.
• Милнор Дж., Уоллес А. «Дифференциальная топология». — М.: Мир, 1972.