локальная топология

Локальная топология — это раздел общей топологии, изучающий свойства топологических пространств, которые определяются поведением в сколь угодно малой окрестности каждой точки. В отличие от глобальной топологии, исследующей пространство в целом (например, связность или компактность), локальная топология сосредоточена на том, как устроена окрестность отдельной точки. Основными понятиями являются локальная компактность, локальная связность, локальная конечность и локальная гомеоморфность.

Основные определения и понятия

Локальная топология опирается на понятие окрестности. Окрестностью точки \(x\) в топологическом пространстве \(X\) называется любое открытое множество, содержащее \(x\). Свойство называется локальным, если оно выполняется для каждой точки в некоторой её окрестности. Формально, свойство \(P\) является локальным, если для каждой точки \(x \in X\) существует окрестность \(U_x\) такая, что подпространство \(U_x\) обладает свойством \(P\).

Локальная компактность

Пространство \(X\) называется локально компактным, если каждая его точка имеет окрестность, замыкание которой компактно. Это одно из важнейших локальных свойств, широко используемое в анализе и геометрии. Например, евклидово пространство \(\mathbb{R}^n\) локально компактно, так как замкнутый шар вокруг любой точки компактен. В то же время, бесконечномерное гильбертово пространство не является локально компактным.

Локальная компактность не влечёт глобальную компактность: прямая \(\mathbb{R}\) локально компактна, но не компактна. Однако в хаусдорфовых пространствах локальная компактность позволяет строить одноточечные компактификации (компактификация Александрова).

Локальная связность

Пространство \(X\) называется локально связным, если для каждой точки \(x\) и любой её окрестности \(U\) существует связная окрестность \(V\) такая, что \(x \in V \subset U\). Иными словами, пространство локально связно, если его база состоит из связных множеств. Например, любое открытое подмножество \(\mathbb{R}^n\) локально связно. Однако существуют связные, но не локально связные пространства — например, «гребёнка» (объединение отрезков, сходящихся к одной точке) или «синусоида тополога» (замыкание графика \(\sin(1/x)\)).

Локальная связность является необходимым условием для того, чтобы компоненты связности были открытыми множествами. В локально связном пространстве каждая компонента связности открыта.

Локальная конечность

Семейство подмножеств \(\{A_i\}_{i \in I}\) топологического пространства \(X\) называется локально конечным, если для каждой точки \(x \in X\) существует окрестность, пересекающаяся лишь с конечным числом множеств семейства. Это понятие играет ключевую роль в теории размерности и при построении разбиений единицы. Например, в \(\mathbb{R}\) семейство интервалов \((n, n+2)\) для \(n \in \mathbb{Z}\) локально конечно, а семейство \((0, 1/n)\) — нет.

Локально конечное семейство замкнутых множеств имеет замкнутое объединение, что важно в алгебраической топологии и теории многообразий.

Локальная гомеоморфность

Отображение \(f: X \to Y\) называется локальным гомеоморфизмом, если для каждой точки \(x \in X\) существует окрестность \(U_x\) такая, что \(f\) отображает \(U_x\) гомеоморфно на открытое подмножество \(Y\). Пространство \(X\) называется локально гомеоморфным пространству \(Y\), если каждая точка \(X\) имеет окрестность, гомеоморфную некоторому открытому множеству \(Y\). Например, любое многообразие локально гомеоморфно \(\mathbb{R}^n\). Локальные гомеоморфизмы являются основой для построения накрытий и локально тривиальных расслоений.

История развития

Истоки локальной топологии восходят к работам Камиля Жордана и Бернхарда Римана в XIX веке, которые изучали локальные свойства поверхностей. Однако систематическое развитие началось в начале XX века с работ Анри Пуанкаре и Давида Гильберта. Пуанкаре ввёл понятие локального гомеоморфизма в контексте анализа situs (топологии). В 1910-х годах Пауль Александров и Павел Урысон заложили основы общей топологии, включая локальную компактность и локальную связность. Урысон в 1924 году сформулировал метризационную теорему, которая тесно связана с локальными свойствами пространств.

В 1930-х годах Хасслер Уитни и Джон Милнор развили теорию локальных гомеоморфизмов и накрытий, что привело к созданию теории многообразий. Локальная топология стала фундаментом для дифференциальной геометрии и топологии, где локальные координаты и локальные гомеоморфизмы являются основными инструментами.

Классификация локальных свойств

Локальные свойства можно разделить на несколько категорий:

Топологические инварианты

Локальные свойства, сохраняющиеся при гомеоморфизмах, называются локальными топологическими инвариантами. К ним относятся локальная компактность, локальная связность, локальная односвязность и локальная конечность. Например, если пространство локально компактно, то любое гомеоморфное ему пространство также локально компактно.

Свойства, связанные с размерностью

Локальная размерность (например, локальная евклидова размерность) определяет, что каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому шару в \(\mathbb{R}^n\). Это свойство характеризует многообразия. Локальная размерность может быть непостоянной на пространстве — например, в букете окружностей точки пересечения имеют размерность 0, а остальные — 1.

Свойства, связанные с метризуемостью

Локально метризуемые пространства — это пространства, каждая точка которых имеет метризуемую окрестность. Все многообразия локально метризуемы. Локальная метризуемость не влечёт глобальную метризуемость, но в комбинации с паракомпактностью и хаусдорфовостью даёт метризуемость (теорема Смирнова — Нагаты).

Применение в математике

Локальная топология является инструментом во многих разделах математики:

В анализе

Локальная компактность используется при построении интеграла Лебега на локально компактных группах (теория Хаара). Локальная связность важна для теории функций комплексного переменного: область в \(\mathbb{C}\) локально связна, что гарантирует существование первообразной.

В геометрии

Многообразия определяются как хаусдорфовы пространства, локально гомеоморфные \(\mathbb{R}^n\). Локальная топология позволяет переносить евклидовы понятия (например, дифференцируемость) на произвольные многообразия. Локальные гомеоморфизмы лежат в основе теории накрытий, где каждое накрытие является локальным гомеоморфизмом.

В алгебраической топологии

Локальная конечность используется при построении симплициальных комплексов и CW-комплексов. Локально конечные покрытия позволяют применять теорию гомологий и когомологий. Понятие локальной стягиваемости (каждая точка имеет стягиваемую окрестность) является условием для применимости теоремы Гуревича.

В теории размерности

Локальная размерность (индуктивная размерность) определяется через локальные свойства. Пространство имеет размерность \(n\), если каждая точка имеет сколь угодно малые окрестности с границами размерности \(n-1\). Локальная конечность покрытий используется при определении покрывающей размерности (dim).

Примеры и контрпримеры

Примеры

1. Евклидово пространство \(\mathbb{R}^n\): локально компактно, локально связно, локально односвязно, локально гомеоморфно самому себе.
2. Окружность \(S^1\): локально гомеоморфна \(\mathbb{R}\), локально компактна, локально связна.
3. Канторово множество: локально несвязно (каждая точка имеет сколь угодно малую окрестность, не являющуюся связной), но локально компактно.
4. Поверхность сферы \(S^2\): локально гомеоморфна \(\mathbb{R}^2\), локально компактна, локально односвязна.

Контрпримеры

1. «Синусоида тополога» (замыкание графика \(\sin(1/x)\) при \(x>0\) с добавлением отрезка на оси \(y\)): связна, но не локально связна в точках оси \(y\).
2. Пространство рациональных чисел \(\mathbb{Q}\) с обычной топологией: не является локально компактным, так как любая окрестность рациональной точки содержит последовательность, не имеющую сходящейся подпоследовательности.
3. Бесконечномерное гильбертово пространство: не локально компактно, хотя локально связно.

Связь с глобальной топологией

Локальные свойства часто являются необходимыми, но не достаточными для глобальных. Например, локальная связность не гарантирует связность пространства в целом (пространство может быть локально связным, но состоять из нескольких компонент связности). Однако в некоторых случаях локальные свойства влекут глобальные: например, локально компактное и паракомпактное хаусдорфово пространство является метризуемым (теорема Смирнова). Локальная односвязность является условием для существования универсального накрытия.

Источники

• Александров П. С., Урысон П. С. «Мемуар о компактных топологических пространствах». — М.: Наука, 1971.
• Бурбаки Н. «Общая топология. Основные структуры». — М.: Мир, 1968.
• Келли Дж. «Общая топология». — М.: Наука, 1981.
• Энгелькинг Р. «Общая топология». — М.: Мир, 1986.
• Милнор Дж., Уоллес А. «Дифференциальная топология». — М.: Мир, 1972.