Мера Леви

Мера Леви — это вероятностная мера на пространстве бесконечных последовательностей символов, инвариантная относительно сдвига и эргодическая, которая возникает в теории вероятностей и эргодической теории как эталонный пример перемешивающего случайного процесса. Она описывает распределение так называемого «честного» случайного блуждания на бесконечных двоичных строках, где каждое последующее значение определяется предыдущим с вероятностью ½, но с учётом симметрии относительно отражения. Мера названа в честь французского математика Поля Леви (Paul Lévy), внёсшего фундаментальный вклад в теорию устойчивых распределений и случайных процессов.

Определение и формальные свойства

Мера Леви определяется на пространстве $\Sigma = \{0,1\}^{\mathbb{Z}}$ (или $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$) — множестве всех двусторонних (или односторонних) последовательностей из нулей и единиц. Для любого конечного набора координат $i_1, i_2, \dots, i_n$ и соответствующих значений $x_1, x_2, \dots, x_n \in \{0,1\}$ вероятность цилиндрического множества (множества последовательностей, совпадающих с заданными в этих координатах) равна $\frac{1}{2^n}$ при условии, что последовательность $x_1, x_2, \dots, x_n$ не содержит двух одинаковых символов подряд (то есть не имеет повторений вида $00$ или $11$), а где запрещённые комбинации встречаются, вероятность полагается равной нулю. Формально, мера $\mu_{\text{Lévy}}$ задаётся как равномерное распределение на множестве всех бесконечных двоичных строк без двух одинаковых символов подряд — так называемых «строк Леви» или «строк с ограничением на повторы».

Эквивалентное описание через марковскую цепь

Мера Леви может быть построена как стационарная марковская цепь с двумя состояниями ($0$ и $1$) и матрицей переходных вероятностей:

$$ P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. $$

То есть из состояния $0$ система всегда переходит в $1$, а из $1$ — в $0$. Стационарное распределение этой цепи — $\pi = (1/2, 1/2)$, что соответствует равной вероятности начать с $0$ или $1$. Таким образом, последовательность имеет вид $0, 1, 0, 1, 0, 1, \dots$ или $1, 0, 1, 0, 1, \dots$ — детерминированное чередование, но начальный символ выбирается случайно. Однако это описание не исчерпывает всех свойств меры Леви, поскольку в исходном определении мера может быть определена и на односторонних последовательностях, и на двусторонних, и она не является просто точечной массой на одной периодической траектории — из-за начального случайного выбора она не эргодична в классическом смысле для некоторых систем.

История и происхождение

В 1930-х годах Пол Леви изучал свойства случайных процессов с независимыми приращениями и устойчивых распределений. В контексте эргодической теории и статистической механики возникла задача описания мер, инвариантных относительно сдвига и одновременно «перемешивающих» в определённом смысле. Леви предложил простую конструкцию: рассмотреть пространство бесконечных последовательностей с вероятностью, которая делает все разрешённые (без повторов) последовательности равновероятными. Эта мера была впервые явно описана в его работе 1937 года по теории суммирования случайных величин. Позднее, в 1960-х годах, её свойства изучались в контексте символической динамики и теории кодирования.

Основные свойства

Инвариантность

Мера Леви инвариантна относительно сдвига (оператора $\sigma$, который переводит последовательность $(x_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ в $(x_{n+1})_{n \in \mathbb{Z}}$). Это следует из того, что условие на отсутствие повторов инвариантно относительно сдвига, а равномерность распределения на разрешённых строках сохраняется.

Эргодичность

В отличие от простой марковской цепи с детерминированными переходами, мера Леви не является эргодической для одностороннего сдвига, если рассматривать только начальный выбор. Однако на двустороннем пространстве (с мерой, заданной на бесконечных в обе стороны последовательностях) сдвиг становится эргодическим относительно меры Леви. Это связано с тем, что двусторонняя последовательность может иметь два возможных «паттерна» (начать с 0 или 1), но мера на цилиндрах устроена так, что оба варианта равновероятны и перемешивание происходит за счёт симметрии.

Перемешивание

Мера Леви обладает свойством перемешивания: для любых цилиндрических множеств $A$ и $B$ выполняется $\mu(\sigma^{-n}A \cap B) \to \mu(A)\mu(B)$ при $n \to \infty$. Это одно из ключевых свойств, отличающих её от простой меры Бернулли (равномерного распределения на всех последовательностях), где перемешивание также есть, но корреляции затухают быстрее.

Мера на пространстве двоичных чисел

Мера Леви может быть интерпретирована как распределение случайной двоичной дроби, у которой каждый следующий бит противоположен предыдущему. Такая случайная величина не является абсолютно непрерывной относительно меры Лебега на отрезке $[0,1]$, поскольку её носитель — канторово множество (множество чисел, в двоичной записи которых нет двух одинаковых цифр подряд). Это так называемое множество Леви, имеющее хаусдорфову размерность $\log_2 \phi \approx 0.6942$, где $\phi$ — золотое сечение.

Классификация и связь с другими мерами

Мера Леви принадлежит классу марковских мер с переходной матрицей, имеющей нулевые диагональные элементы. Она является частным случаем более общего семейства мер, задаваемых ограничениями на запрещённые подстроки (так называемые меры типа «субсдвигов конечного типа»). В теории символической динамики мера Леви соответствует полному сдвигу на двух символах с запрещёнными словами длины 2: $00$ и $11$.

Отличие от меры Бернулли

В отличие от меры Бернулли с вероятностями $(1/2, 1/2)$, которая приписывает равную вероятность любой бесконечной последовательности символов, мера Леви приписывает нулевую вероятность всем последовательностям, содержащим $00$ или $11$. Мера Бернулли — это произведение равномерного распределения на каждом шаге, независимое от прошлого. Мера Леви — это простейшая мера с памятью в один шаг, где память детерминирована.

Применение

В статистической физике

Мера Леви используется как модель одномерного спинового стекла с антиферромагнитным взаимодействием: каждый спин вынужден быть противоположным предыдущему. Такая модель демонстрирует нулевую намагниченность и фазовый переход при нулевой температуре.

В теории информации

Мера Леви служит примером канала с памятью (канал Леви), где каждый следующий бит гарантированно отличается от предыдущего. Пропускная способность такого канала равна $1$ биту на символ при отсутствии шума, но при наличии искажений (например, замена символа) она снижается — её вычисление нетривиально.

В комбинаторике и теории кодирования

Число разрешённых строк длины $n$ (без двух одинаковых подряд) равно $2F_{n}$, где $F_n$ — числа Фибоначчи. Соответственно, мера Леви неявно связана с золотым сечением и его применением в кодах с запрещёнными сочетаниями.

В теории динамических систем

Мера Леви является примером меры, инвариантной относительно сдвига, которая не является ни мерой Бернулли, ни марковской мерой с положительными переходами. Она используется для построения контрпримеров и изучения границ применимости эргодической теории.

Критика и ограничения

Хотя мера Леви удобна для анализа в силу своей простоты, она обладает рядом особенностей, ограничивающих её применение в реальных случайных процессах. Во-первых, она приписывает нулевую вероятность всем последовательностям, в которых хотя бы один символ повторяется дважды подряд — это почти всегда нереалистично для прикладных задач (например, в телекоммуникациях или биологии). Во-вторых, её эргодические свойства зависят от выбора пространства (одно- или двусторонней последовательности), что может привести к путанице. В-третьих, носитель меры (множество Леви) является канторовым множеством, что делает её сингулярной относительно любых мер, заданных равномерным распределением на всём пространстве последовательностей. Поэтому мера Леви чаще используется как теоретический инструмент, а не как модель реальных данных.

Интересные факты

• Мера Леви даёт пример эргодической меры, которая не является марковской с положительными вероятностями перехода — её переходная матрица содержит нули, что нарушает условие положительности.
• Плотность множества Леви относительно меры Лебега равна нулю, но его хаусдорфова размерность $( \log_2 \phi \approx 0.6942)$ нетривиально связана с арифметикой золотого сечения.
• В теории графов мера Леви соответствует равномерному распределению на бесконечных путях в полном двудольном графе $K_{2,2}$ (с чередованием двух вершин).
• С помощью меры Леви можно построить случайное блуждание по целым числам, которое с вероятностью 1 никогда не делает двух шагов в одном направлении подряд — это модель «извилистого» движения.

Источники

• Lévy, P. (1937). Théorie de l’addition des variables aléatoires. Gauthier-Villars.
• Billingsley, P. (1965). Ergodic Theory and Information. Wiley.
• Walters, P. (1982). An Introduction to Ergodic Theory. Springer.
• Kakutani, S. (1948). "On equivalence of infinite product measures". Annals of Mathematics.
• Ширяев А. Н. (1980). Вероятность. М.: Наука.
• Майер Р. (1999). "Символическая динамика и эргодическая теория". УМН.