Метод перемещений

Метод перемещений — это метод расчёта стержневых систем (балок, рам, ферм) на прочность и жёсткость в строительной механике, основанный на принятии в качестве основных неизвестных перемещений (линейных и угловых) узлов системы. В отличие от метода сил, где неизвестными являются усилия в лишних связях, метод перемещений позволяет сократить число неизвестных для систем с высокой степенью статической неопределимости, особенно для рамных конструкций с большим числом пролётов. Метод базируется на принципе суперпозиции и использует канонические уравнения, аналогичные уравнениям метода сил, но записанные относительно перемещений.

Основные понятия и допущения

Метод перемещений применяется для расчёта линейно-упругих систем, работающих в пределах малых деформаций. Основные допущения:

• материал подчиняется закону Гука;
• деформации малы по сравнению с размерами элементов;
• сечения стержней постоянны или изменяются по заданному закону;
• связи между элементами (узлы) считаются идеальными (шарнирные или жёсткие).

В методе перемещений система рассматривается как совокупность стержней, соединённых в узлах. За основные неизвестные принимаются:

• углы поворота узлов (θ) — для жёстких узлов;
• линейные перемещения узлов (Δ) — для узлов, имеющих возможность смещаться.

Число основных неизвестных равно степени кинематической неопределимости системы, которая определяется числом независимых перемещений узлов.

История развития

Метод перемещений был разработан в начале XX века. В 1914 году немецкий инженер Г. М. Ф. Бендт (G. M. F. Bendt) предложил идею использования перемещений в качестве основных неизвестных. В 1920-х годах метод был систематизирован и развит в работах советских учёных: А. А. Гвоздева, И. М. Рабиновича, Н. М. Бернштейна. В 1930-е годы метод получил широкое распространение в СССР при проектировании промышленных зданий и мостов. В 1950-е годы с развитием вычислительной техники метод перемещений стал основой для матричных методов расчёта (метод конечных элементов), что позволило автоматизировать расчёты сложных конструкций.

Кинематическая неопределимость

Степень кинематической неопределимости системы (n) определяется как сумма числа независимых углов поворота жёстких узлов (n_θ) и числа независимых линейных перемещений узлов (n_Δ):

\[ n = n_θ + n_Δ \]

Для плоских рам:

• n_θ равно числу жёстких узлов (включая опорные, если они допускают поворот);
• n_Δ определяется числом возможных смещений узлов, которое зависит от числа и типа опор и жёсткости элементов.

Пример: для рамы с тремя жёсткими узлами и одной подвижной опорой n_θ = 3, n_Δ = 1, n = 4.

Основная система метода перемещений

Для расчёта вводится основная система — кинематически определимая система, полученная из исходной путём введения дополнительных связей, препятствующих перемещениям узлов. Эти связи бывают двух типов:

• упругие заделки — препятствуют повороту узла, но допускают линейное смещение;
• линейные связи — препятствуют линейному смещению узла в заданном направлении.

Основная система выбирается так, чтобы все её элементы были статически определимыми по усилиям. Для этого вводятся дополнительные связи в количестве, равном степени кинематической неопределимости.

Канонические уравнения

Канонические уравнения метода перемещений записываются в виде:

\[ r_{11} Z_1 + r_{12} Z_2 + \dots + r_{1n} Z_n + R_{1F} = 0 \] \[ r_{21} Z_1 + r_{22} Z_2 + \dots + r_{2n} Z_n + R_{2F} = 0 \] \[ \dots \] \[ r_{n1} Z_1 + r_{n2} Z_2 + \dots + r_{nn} Z_n + R_{nF} = 0 \]

где:

• \( Z_i \) — искомые перемещения (основные неизвестные);
• \( r_{ij} \) — реакция в i-й дополнительной связи от единичного перемещения j-й связи (коэффициенты жёсткости);
• \( R_{iF} \) — реакция в i-й дополнительной связи от внешней нагрузки.

Физический смысл уравнений: сумма реакций в каждой дополнительной связи от всех перемещений и нагрузки равна нулю, так как в исходной системе эти связи отсутствуют.

Определение коэффициентов

Коэффициенты \( r_{ij} \) и \( R_{iF} \) определяются с помощью таблиц реакций для стержней с постоянным сечением (таблицы Андерсена или стандартные формулы). Для каждого стержня, входящего в узел, вычисляются:

• реактивный момент при единичном повороте узла;
• реактивная сила при единичном линейном смещении.

Для стержня с жёсткой заделкой на одном конце и шарниром на другом:

• момент от единичного поворота: \( M = \frac{3EI}{l} \);
• поперечная сила от единичного поворота: \( Q = \frac{3EI}{l^2} \).

Для стержня с двумя жёсткими заделками:

• момент от единичного поворота: \( M = \frac{4EI}{l} \);
• момент от единичного линейного смещения: \( M = \frac{6EI}{l^2} \);
• поперечная сила от единичного линейного смещения: \( Q = \frac{12EI}{l^3} \).

Здесь \( E \) — модуль упругости, \( I \) — момент инерции сечения, \( l \) — длина стержня.

Решение системы и построение эпюр

После составления канонических уравнений решается система линейных алгебраических уравнений (обычно методом Гаусса или Крамера). Полученные значения \( Z_i \) подставляются в выражения для усилий в стержнях. Затем строятся эпюры:

• изгибающих моментов (M);
• поперечных сил (Q);
• продольных сил (N).

Для проверки правильности расчёта используются статические проверки (равновесие узлов и частей системы) и кинематическая проверка (отсутствие перемещений в дополнительных связях).

Пример расчёта рамы

Рассмотрим простую раму с двумя жёсткими узлами и одной подвижной опорой. Степень кинематической неопределимости: n_θ = 2, n_Δ = 1, n = 3. Основная система вводит три дополнительные связи. Составляются три канонических уравнения. Коэффициенты определяются по таблицам. После решения получаются перемещения узлов, по которым вычисляются моменты в стержнях. Эпюра моментов строится на сжатых волокнах.

Преимущества и недостатки

Преимущества:

• меньшее число неизвестных для рам с большим числом пролётов (по сравнению с методом сил);
• удобство для расчёта симметричных систем;
• естественная основа для матричных методов (метод конечных элементов).

Недостатки:

• необходимость введения дополнительных связей и вычисления реакций;
• сложность при расчёте систем с переменным сечением или неупругими деформациями;
• трудоёмкость ручного расчёта для систем с большим числом неизвестных (более 5–6).

Применение

Метод перемещений широко используется в строительном проектировании для расчёта:

• многоэтажных рамных каркасов зданий;
• мостовых ферм и арок;
• промышленных сооружений (крановые эстакады, резервуары);
• в учебных курсах строительной механики как основа для понимания матричных методов.

С развитием вычислительной техники метод перемещений стал основой для программных комплексов (SCAD, ЛИРА, ANSYS), где реализован в виде метода конечных элементов (МКЭ). В МКЭ перемещения узлов являются основными неизвестными, а канонические уравнения заменяются глобальной матрицей жёсткости.

Интересные факты

• Метод перемещений иногда называют «методом деформаций» или «методом угловых перемещений».
• В СССР метод был стандартизирован в 1930-е годы и вошёл в обязательные программы обучения инженеров-строителей.
• Для расчёта симметричных систем метод перемещений позволяет сократить число неизвестных вдвое, используя групповые неизвестные (симметричные и антисимметричные перемещения).
• В методе перемещений не требуется вычислять усилия в лишних связях, что упрощает расчёт для статически неопределимых систем высокой степени.

Источники

1. Строительная механика: учебник для вузов / А. А. Гвоздев, И. М. Рабинович. — М.: Стройиздат, 1970.
2. Расчёт рам методом перемещений / Н. М. Бернштейн. — М.: Госстройиздат, 1955.
3. Строительная механика стержневых систем / В. А. Киселёв. — М.: Высшая школа, 1986.
4. Метод конечных элементов в строительной механике / О. З. Зенкевич. — М.: Мир, 1975.
5. Таблицы для расчёта рам методом перемещений / Г. М. Ф. Бендт. — Берлин, 1914 (на немецком языке).