Метрика Шварцшильда

Метрика Шварцшильда — это точное решение уравнений общей теории относительности (ОТО) Эйнштейна, описывающее гравитационное поле сферически симметричного невращающегося незаряженного массивного тела. Является простейшей и одной из важнейших моделей в релятивистской астрофизике, лежащей в основе современного понимания чёрных дыр.

История

Решение было найдено немецким астрономом и физиком Карлом Шварцшильдом в 1916 году, всего через несколько месяцев после публикации Эйнштейном окончательных уравнений ОТО. Шварцшильд, служивший в то время в немецкой армии на Восточном фронте Первой мировой войны, рассчитал метрику для точечной массы и для однородного шара. Его работа была опубликована в том же году в журнале «Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften».

Решение Шварцшильда стало первым нетривиальным точным решением уравнений Эйнштейна. Оно сразу же выявило ключевое следствие ОТО — существование гравитационного радиуса (радиуса Шварцшильда), при пересечении которого пространство-время искривляется настолько, что никакой сигнал, включая свет, не может покинуть область внутри этой сферы. В течение нескольких десятилетий это явление считалось чисто математическим курьёзом, пока в 1960-х годах не были открыты первые кандидаты в чёрные дыры (квазары, рентгеновские двойные системы).

Форма и основные параметры

Метрика Шварцшильда записывается в сферических координатах \((t, r, \theta, \phi)\) и имеет вид:

\[ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right) c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2) \]

где:

• \(ds\) — интервал (инвариантное расстояние между двумя событиями в пространстве-времени);
• \(c\) — скорость света в вакууме;
• \(G\) — гравитационная постоянная;
• \(M\) — масса центрального тела;
• \(r\) — радиальная координата (не является физическим расстоянием до центра, а задаёт площадь сферы \(4\pi r^2\));
• \(t\) — временная координата (время на бесконечности).

Ключевым параметром является гравитационный радиус (радиус Шварцшильда) \(r_s = 2GM/c^2\). При \(r = r_s\) компонента метрики \(g_{tt}\) обращается в ноль, а \(g_{rr}\) — в бесконечность. Эта особенность называется горизонтом событий — границей, за которой события не могут влиять на внешнего наблюдателя.

Свойства и следствия

Гравитационное красное смещение

Вблизи массивного тела время течёт медленнее, чем вдали от него. Для наблюдателя на бесконечности частота света, испущенного с поверхности звезды, уменьшается (смещается в красную сторону). В метрике Шварцшильда это смещение описывается формулой: \[ z = \frac{\lambda_{\text{набл}} - \lambda_{\text{ист}}}{\lambda_{\text{ист}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{r_s}{r}}} - 1 \] Для тел с радиусом, значительно превышающим \(r_s\) (например, Земля или Солнце), эффект мал, но измерим.

Отклонение света

Свет, проходящий вблизи массивного тела, искривляется в гравитационном поле. В метрике Шварцшильда угол отклонения луча, проходящего на расстоянии \(b\) от центра, равен: \[ \Delta \phi = \frac{4GM}{c^2 b} \] Для Солнца это даёт около 1,75 угловых секунды для луча, проходящего у края диска. Этот эффект был впервые подтверждён в 1919 году во время солнечного затмения экспедицией Артура Эддингтона.

Орбитальное движение

Планеты в метрике Шварцшильда движутся по орбитам, которые не являются замкнутыми эллипсами, как в ньютоновской механике. Перигелий орбиты (ближайшая к Солнцу точка) медленно поворачивается. Для Меркурия этот эффект составляет около 43 угловых секунд за столетие — одно из первых классических подтверждений ОТО.

Чёрные дыры

Если тело сжимается до размеров меньше \(r_s\), оно коллапсирует в чёрную дыру. Для внешнего наблюдателя объект навсегда «застывает» на горизонте событий, а его время останавливается. Внутри горизонта (\(r < r_s\)) радиальная координата \(r\) становится времениподобной, а временная \(t\) — пространственноподобной, что означает неизбежное падение любой материи к сингулярности в центре (\(r = 0\)), где кривизна пространства-времени становится бесконечной.

Ограничения и обобщения

Метрика Шварцшильда является идеализацией, так как предполагает:

• отсутствие вращения тела (угловой момент равен нулю);
• отсутствие электрического заряда;
• сферическую симметрию.

В реальности астрофизические объекты вращаются. Для описания вращающихся чёрных дыр используется метрика Керра (1963), а для заряженных — метрика Райсснера — Нордстрёма (1916–1918). Метрика Шварцшильда остаётся базовой моделью для изучения невращающихся чёрных дыр и для проверки предсказаний ОТО в слабых полях.

Применение в астрофизике

• Описание гравитационного поля звёзд (вне их поверхности) — с высокой точностью для невращающихся объектов.
• Моделирование аккреционных дисков вокруг чёрных дыр — в рамках приближения Шварцшильда для невращающихся чёрных дыр.
• Расчёт гравитационного линзирования — отклонения света от далёких галактик и квазаров.
• Интерпретация гравитационно-волновых сигналов — первые детектирования гравитационных волн (LIGO, 2015) описывались с помощью метрик для слияния чёрных дыр, где в качестве начального приближения использовалась метрика Шварцшильда.

Источники

• Шварцшильд К. «О гравитационном поле точечной массы в теории Эйнштейна» (1916)
• Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. «Гравитация» (том 2, глава 31)
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика. Том II. Теория поля» (глава 12)
• Хокинг С., Эллис Дж. «Крупномасштабная структура пространства-времени» (глава 3)
• Новиков И. Д., Фролов В. П. «Физика чёрных дыр» (глава 1)