Модель Кельвина — Фойгта

Модель Кельвина — Фойгта — это реологическая модель, описывающая вязкоупругое поведение материалов, в которой упругие и вязкие свойства представлены параллельным соединением пружины (упругий элемент) и демпфера (вязкий элемент). Модель названа в честь британского физика Уильяма Томсона (лорда Кельвина) и немецкого физика Вольдемара Фойгта. Она является одной из простейших моделей, используемых для описания ползучести и релаксации напряжений в твёрдых телах, полимерах, биологических тканях и геологических средах.

История

Модель была разработана в XIX веке в рамках развития теории упругости и вязкости. Уильям Томсон (лорд Кельвин) в 1865 году предложил математическое описание вязкоупругих свойств, а Вольдемар Фойгт в 1890 году независимо пришёл к аналогичной модели, изучая поведение кристаллов. В отличие от модели Максвелла, где упругий и вязкий элементы соединены последовательно, модель Кельвина — Фойгта с параллельным соединением лучше описывает ползучесть, но не способна адекватно моделировать мгновенную упругую деформацию.

Математическое описание

Модель Кельвина — Фойгта представляет собой систему из двух элементов:

• Пружина с жёсткостью \( E \) (модуль упругости).
• Демпфер с вязкостью \( \eta \) (коэффициент вязкости).

Элементы соединены параллельно, поэтому полное напряжение \( \sigma \) равно сумме напряжений в пружине и демпфере, а полная деформация \( \varepsilon \) одинакова для обоих элементов. Уравнение состояния модели имеет вид:

\[ \sigma(t) = E \varepsilon(t) + \eta \frac{d\varepsilon(t)}{dt} \]

где:

• \( \sigma(t) \) — напряжение в момент времени \( t \),
• \( \varepsilon(t) \) — деформация,
• \( \frac{d\varepsilon(t)}{dt} \) — скорость деформации.

Реакция на ступенчатое напряжение (ползучесть)

При приложении постоянного напряжения \( \sigma_0 \) в момент \( t = 0 \) решение дифференциального уравнения даёт экспоненциальный рост деформации:

\[ \varepsilon(t) = \frac{\sigma_0}{E} \left(1 - e^{-t/\tau}\right) \]

где \( \tau = \eta / E \) — время релаксации (характерное время, за которое деформация достигает \( 1 - 1/e \approx 63\% \) от равновесного значения). При \( t \to \infty \) деформация стремится к \( \sigma_0 / E \), что соответствует чисто упругому поведению.

Реакция на ступенчатую деформацию (релаксация)

Если мгновенно задать постоянную деформацию \( \varepsilon_0 \), то напряжение в модели Кельвина — Фойгта стремится к бесконечности в начальный момент, так как демпфер оказывает бесконечное сопротивление мгновенному изменению деформации. Это ограничение делает модель непригодной для описания релаксации напряжений в реальных материалах, где мгновенная упругая реакция существует.

Сравнение с другими моделями

Модель Кельвина — Фойгта часто сравнивают с моделью Максвелла, которая описывает релаксацию, но не ползучесть. Для более точного описания реальных вязкоупругих материалов используются комбинированные модели, например, стандартная линейная твёрдая модель (модель Зенера), которая включает последовательное соединение модели Кельвина — Фойгта и дополнительной пружины.

Таблица: Сравнение моделей

Применение

Модель Кельвина — Фойгта используется в различных областях науки и техники:

• Механика полимеров: Описание ползучести резин, пластмасс и композитов при постоянных нагрузках.
• Биомеханика: Моделирование вязкоупругих свойств мягких тканей (кожа, мышцы, хрящи) и клеточных мембран.
• Геофизика: Описание реологических свойств горных пород и ледников, особенно в задачах, связанных с медленными деформациями.
• Сейсмология: Анализ затухания сейсмических волн в вязкоупругой среде.
• Материаловедение: Оценка долговременной прочности и устойчивости конструкций.

Пример: Ползучесть бетона

В строительстве модель Кельвина — Фойгта (или её модификации) применяется для прогнозирования ползучести бетона под нагрузкой. Бетон при длительном сжатии деформируется медленно, и его поведение может быть аппроксимировано экспоненциальной функцией с характерным временем релаксации, зависящим от состава и условий твердения.

Ограничения

Несмотря на простоту, модель Кельвина — Фойгта имеет ряд недостатков:

• Не описывает мгновенную упругую деформацию (при \( t = 0 \) деформация равна нулю, что не соответствует реальности для большинства твёрдых тел).
• Непригодна для моделирования релаксации напряжений, так как предсказывает бесконечное напряжение при мгновенной деформации.
• Не учитывает нелинейные эффекты, такие как пластичность или разрушение.

Для преодоления этих ограничений используются более сложные модели, включающие несколько элементов Кельвина — Фойгта, соединённых последовательно (обобщённая модель Кельвина), или комбинации с моделями Максвелла.

Интересные факты

• Модель Кельвина — Фойгта также известна как модель Фойгта — Кельвина, однако в русскоязычной литературе чаще используется название «модель Кельвина — Фойгта».
• В механике сплошных сред модель Кельвина — Фойгта является частным случаем линейной вязкоупругой модели, описываемой интегральными соотношениями Больцмана.
• Параллельное соединение пружины и демпфера аналогично электрической RC-цепи, где напряжение соответствует напряжению, а ток — скорости деформации.

Источники

• Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. — М.: Мир, 1975.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. — М.: Наука, 1987.
• Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. — М.: Мир, 1974.
• Findley W. N., Lai J. S., Onaran K. Creep and Relaxation of Nonlinear Viscoelastic Materials. — Dover Publications, 1989.
• Материалы курса «Реология полимеров» (МГУ им. М. В. Ломоносова, химический факультет).