Мозаики Пенроуза

Мозаики Пенроуза — это класс непериодических замощений плоскости, построенных из конечного набора геометрических фигур (плиток) на основе правил локального сопряжения, впервые систематически описанных британским математиком и физиком Роджером Пенроузом в 1970-х годах. Основное свойство таких мозаик — отсутствие трансляционной симметрии: никакое параллельное смещение не совмещает всю мозаику саму с собой, хотя она может обладать поворотной симметрией (например, пятого порядка). Мозаики Пенроуза являются классическим примером апериодического замощения и нашли применение в кристаллографии, теории квазикристаллов и декоративном искусстве.

История открытия

Предшественники

Идеи непериодических замощений плоскости возникли задолго до Пенроуза. В 1960-х годах американский математик Хао Ван предложил концепцию «плиток Ванга» — квадратов с окрашенными сторонами, которые можно соединять только по совпадающим цветам. Его ученик Роберт Бергер в 1966 году доказал существование набора из 20 426 плиток, способного замостить плоскость только непериодически. Позже число плиток было сокращено до 104, а затем до 14 (набор Рафаэля Робинсона, 1971 год). Однако все эти наборы были сложны и неудобны для визуализации.

Вклад Роджера Пенроуза

В 1973–1974 годах Роджер Пенроуз, вдохновлённый работами Ванга и Робинсона, предложил набор всего из двух простых фигур — ромбов или дельтоидов, которые при соблюдении правил сопряжения дают строго непериодическое замощение. Первоначально Пенроуз использовал шесть плиток, но затем сократил их число до двух. В 1978 году он совместно с Джоном Хортоном Конвеем разработал более элегантную версию с «птичками» (или «змеями»), однако наибольшую известность получили именно ромбические мозаики.

Признание и влияние

Работы Пенроуза привлекли внимание не только математиков, но и физиков. В 1984 году израильский учёный Дан Шехтман обнаружил в сплаве алюминия и марганца структуру с икосаэдрической симметрией, что противоречило классической кристаллографии, допускавшей только симметрии 2, 3, 4 и 6 порядков. Это открытие привело к признанию квазикристаллов, чья атомная структура описывается мозаиками Пенроуза. За это открытие Шехтман получил Нобелевскую премию по химии в 2011 году.

Типы мозаик Пенроуза

Существует несколько эквивалентных наборов плиток, порождающих непериодические замощения. Наиболее известны два варианта.

Ромбическая мозаика (P3)

Основные плитки — два ромба с одинаковой длиной стороны, но разными углами:

• «Толстый» ромб: углы 72° и 108° (золотой ромб).
• «Тонкий» ромб: углы 36° и 144°.

Правила сопряжения: при стыковке ромбов их стороны должны совпадать, а вершины — соединяться только в определённых конфигурациях, задаваемых разметкой (например, дугами или стрелками). Замощение строится так, чтобы все вершины имели один из четырёх типов, соответствующих локальным окружениям.

Мозаика с дельтоидами и дротиками (P2)

Плитки:

• «Дельтоид» (или «лук»): выпуклый четырёхугольник с углами 72°, 72°, 72° и 144°.
• «Дротик» (или «стрела»): вогнутый четырёхугольник с углами 36°, 72°, 36° и 216°.

Правила сопряжения также задаются разметкой (обычно дугами разных цветов). Эта версия часто используется для иллюстрации связи с золотым сечением.

Мозаика с «птичками» (P1)

Набор из четырёх плиток, образующих фигуры, напоминающие птиц или змей. Эта версия менее популярна из-за большего числа плиток, но исторически была первой.

Математические свойства

Апериодичность

Главное свойство — строгая непериодичность. Доказано, что любое замощение плоскости этими плитками не имеет трансляционной симметрии. Это следует из того, что мозаика Пенроуза может быть получена методом «разрезания и проекции» из пятимерной решётки, и её структура описывается последовательностью Фибоначчи и золотым сечением.

Золотое сечение

Отношение числа «толстых» ромбов к «тонким» в бесконечной мозаике стремится к золотому сечению φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618. Все углы плиток кратны 36° (π/5), что связано с симметрией пятого порядка.

Локальная изоморфность

Любые две бесконечные мозаики Пенроуза локально изоморфны: любой конечный фрагмент одной мозаики встречается в другой бесконечное число раз. Это свойство роднит их с квазипериодическими структурами.

Методы построения

1. Метод дефляции (замены): каждая плитка заменяется набором более мелких плиток того же типа. Повторяя процесс, можно получить сколь угодно большую мозаику.
2. Метод проекции: пятимерная кубическая решётка проецируется на плоскость под определённым углом, давая непериодическое замощение.
3. Метод с использованием последовательности Фибоначчи: одномерная квазипериодическая последовательность задаёт разбиение прямой, которое затем «наращивается» до двумерной мозаики.

Применение

Квазикристаллы

В 1984 году Дан Шехтман обнаружил, что дифракционная картина сплава Al₆Mn имеет острые пики с симметрией пятого порядка, что невозможно для обычных кристаллов. Это привело к открытию квазикристаллов — твёрдых тел, атомная структура которых описывается трёхмерным аналогом мозаик Пенроуза (например, икосаэдрическими кластерами). Квазикристаллы обладают уникальными свойствами: низкой теплопроводностью, высокой твёрдостью и коррозионной стойкостью. Они используются в покрытиях для сковородок, в хирургических инструментах и в термоэлектрических генераторах.

Декоративное искусство

Мозаики Пенроуза нашли применение в архитектуре и дизайне. Например, в 2013 году в городе Нанкин (Китай) был построен выставочный центр с фасадом, выполненным в виде ромбической мозаики Пенроуза. В 2020 году в Москве на станции метро «Мнёвники» (Большая кольцевая линия) были установлены декоративные панели с узором, напоминающим мозаику Пенроуза. Кроме того, мотивы мозаик Пенроуза используются в ювелирных украшениях, керамической плитке и текстиле.

Математика и образование

Мозаики Пенроуза служат наглядным примером апериодичности, золотого сечения и фрактальных структур. Они используются в учебных курсах по комбинаторике, геометрии и теории чисел. В 2023 году группа математиков из Оксфордского университета доказала, что мозаики Пенроуза могут быть построены с помощью единственной плитки — «шляпы» (hat tile), что вызвало новый всплеск интереса к теме.

Критика и ограничения

Несмотря на элегантность, мозаики Пенроуза имеют ряд ограничений:

• Сложность построения: даже с помощью компьютера построение больших фрагментов требует значительных вычислительных ресурсов.
• Отсутствие практической применимости в строительстве: из-за непериодичности невозможно создать стандартные блоки для массового производства.
• Математическая строгость: доказательство апериодичности для всех возможных наборов плиток остаётся открытой проблемой (гипотеза о «моно-плитке» была решена лишь частично).

Интересные факты

• В 1996 году мозаика Пенроуза была изображена на почтовой марке Великобритании, посвящённой математике.
• Роджер Пенроуз получил за свои работы Нобелевскую премию по физике в 2020 году (за предсказание чёрных дыр), но мозаики не были напрямую связаны с этим достижением.
• В 2011 году группа исследователей из Мичиганского университета обнаружила, что мозаики Пенроуза можно использовать для создания фотонных кристаллов с запрещённой зоной в видимом диапазоне.
• В 2024 году в журнале Nature была опубликована статья о синтезе квазикристалла с икосаэдрической симметрией на основе мозаики Пенроуза, что открывает путь к созданию новых материалов.

Источники

• Пенроуз Р. «Новый тип непериодического замощения плоскости» // Математика: сборник переводов. — 1979. — Т. 23, № 5.
• Гарднер М. «Математические головоломки и развлечения». — М.: Мир, 1985.
• Шехтман Д. и др. «Металлическая фаза с дальним ориентационным порядком и без трансляционной симметрии» // Physical Review Letters. — 1984. — Vol. 53, № 20.
• Соколов И. А. «Квазикристаллы: от открытия до применения» // Успехи физических наук. — 2012. — Т. 182, № 10.
• Baake M., Grimm U. «Aperiodic Order. Vol. 1: A Mathematical Invitation». — Cambridge University Press, 2013.