Нормализованная взаимная корреляция¶

Нормализованная взаимная корреляция — это статистическая мера, используемая для оценки степени линейной зависимости между двумя сигналами, временными рядами или наборами данных, приведённая к безразмерному диапазону, обычно от −1 до 1. В отличие от обычной взаимной корреляции, которая зависит от амплитуды сигналов, нормализованная версия позволяет сравнивать корреляцию между сигналами разной интенсивности, выделяя только форму их взаимосвязи. Широко применяется в цифровой обработке сигналов, анализе изображений, сейсмологии, метеорологии, а также в задачах распознавания образов и машинного обучения.

¶Определение и математическая формулировка

Нормализованная взаимная корреляция (НВК, англ. Normalized Cross-Correlation, NCC) определяется как коэффициент корреляции Пирсона между двумя последовательностями, сдвинутыми относительно друг друга. Для двух дискретных сигналов \( f \) и \( g \) длины \( N \) значение НВК для сдвига \( \tau \) вычисляется по формуле:

\[ \gamma(\tau) = \frac{\sum_{i=1}^{N} (f(i) - \bar{f}) \cdot (g(i + \tau) - \bar{g})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{N} (f(i) - \bar{f})^2 \cdot \sum_{i=1}^{N} (g(i + \tau) - \bar{g})^2}} \]

где:

• \( \bar{f} \) и \( \bar{g} \) — средние арифметические значения соответствующих сигналов на интервале перекрытия;
• \( \tau \) — временной сдвиг (лаг), который может быть как положительным, так и отрицательным.

Значение \( \gamma(\tau) \) равно 1 при полной положительной линейной зависимости, −1 — при полной отрицательной, 0 — при отсутствии линейной связи. В случае непрерывных сигналов формула записывается через интегралы, но принцип остаётся тем же.

¶Свойства и особенности

¶Инвариантность к масштабу и сдвигу

НВК инвариантна к линейным преобразованиям амплитуды сигналов: если \( f'(i) = a \cdot f(i) + b \) и \( g'(i) = c \cdot g(i) + d \), где \( a, c > 0 \), то значение НВК не изменится. Это позволяет сравнивать сигналы, записанные разными датчиками с разной чувствительностью.

¶Чувствительность к форме сигнала

Мера реагирует исключительно на форму сигнала, а не на его абсолютные значения. Два сигнала, один из которых является точной копией другого, но с удвоенной амплитудой, дадут НВК = 1 при нулевом сдвиге.

¶Ограничения

• НВК измеряет только линейную зависимость. Нелинейные связи (например, квадратичная или логарифмическая) могут давать низкие значения корреляции даже при сильной функциональной зависимости.
• При малых размерах выборки (менее 10–20 точек) оценка становится неустойчивой.
• Наличие выбросов может существенно исказить результат.

¶Виды и модификации

¶Нормализованная взаимная корреляция с нулевым средним (ZNCC)

Наиболее распространённая форма, описанная выше. Центрирование сигналов (вычитание среднего) устраняет влияние постоянной составляющей.

¶Нормализованная взаимная корреляция с единичной энергией (NCC без центрирования)

В некоторых приложениях (например, в шаблонном поиске изображений) используют формулу без вычитания среднего:

\[ \gamma(\tau) = \frac{\sum f(i) \cdot g(i + \tau)}{\sqrt{\sum f(i)^2 \cdot \sum g(i + \tau)^2}} \]

Такая мера чувствительна к постоянному смещению, но проще в вычислениях.

¶Фазовая корреляция

Особый случай, когда нормализация выполняется в частотной области путём деления взаимного спектра на его модуль. Используется для оценки сдвига между изображениями.

¶Применение

¶Цифровая обработка сигналов

В радиолокации и гидроакустике НВК применяется для обнаружения отражённых сигналов на фоне шума. Например, в импульсной радиолокации корреляционный приёмник вычисляет НВК между принятым сигналом и эталонным зондирующим импульсом, чтобы определить задержку и, следовательно, расстояние до цели.

¶Обработка изображений

В компьютерном зрении НВК используется для шаблонного поиска — нахождения участка изображения, наиболее похожего на заданный шаблон. Алгоритм последовательно сдвигает шаблон по изображению и вычисляет корреляцию в каждой точке. Максимум НВК указывает на наилучшее совпадение. Этот метод устойчив к изменениям освещённости, так как нормализация компенсирует разницу в яркости.

¶Сейсмология

При обработке сейсмических данных НВК помогает оценивать временные сдвиги между волнами, зарегистрированными разными станциями, что необходимо для локации эпицентра землетрясения или изучения строения земной коры.

¶Метеорология и климатология

Сравнение временных рядов температуры, давления или осадков с помощью НВК позволяет выявлять корреляционные связи между удалёнными регионами (например, явление Эль-Ниньо).

¶Биомедицинская инженерия

В анализе электрокардиограмм (ЭКГ) и электроэнцефалограмм (ЭЭГ) НВК используется для обнаружения повторяющихся паттернов (например, QRS-комплексов) и оценки синхронности сигналов от разных отведений.

¶Пример

Рассмотрим два простых дискретных сигнала:

• \( f = [1, 2, 3, 4] \)
• \( g = [2, 4, 6, 8] \) (точная копия \( f \), умноженная на 2)

Средние: \( \bar{f} = 2.5 \), \( \bar{g} = 5 \). Центрированные сигналы: \( f' = [-1.5, -0.5, 0.5, 1.5] \), \( g' = [-3, -1, 1, 3] \). Вычислим НВК при нулевом сдвиге:

Числитель: \( (-1.5)(-3) + (-0.5)(-1) + (0.5)(1) + (1.5)(3) = 4.5 + 0.5 + 0.5 + 4.5 = 10 \) Знаменатель: \( \sqrt{((-1.5)^2 + (-0.5)^2 + (0.5)^2 + (1.5)^2) \cdot ((-3)^2 + (-1)^2 + (1)^2 + (3)^2)} = \sqrt{(2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25) \cdot (9 + 1 + 1 + 9)} = \sqrt{5 \cdot 20} = \sqrt{100} = 10 \)

Результат: \( \gamma(0) = 10 / 10 = 1 \), что соответствует полной положительной корреляции.

¶Критика и ограничения

Основная критика НВК связана с её чувствительностью к выбросам: одно аномальное значение может существенно изменить среднее и дисперсию, что приведёт к некорректной оценке. Для робастности в некоторых задачах применяют ранговые корреляции (например, Спирмена) или медианные модификации. Кроме того, НВК не учитывает нелинейные зависимости, поэтому для сложных сигналов часто используют взаимную информацию или методы ядерной корреляции.

¶Источники

• Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. — М.: Мир, 1989.
• Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. — М.: Техносфера, 2006.
• Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. — М.: Техносфера, 2012.
• Lewis J. P. Fast Normalized Cross-Correlation // Vision Interface. — 1995. — Vol. 10. — P. 120–123.