Ожидаемая полезность¶

Ожидаемая полезность — это экономическое и математическое понятие, обозначающее средневзвешенную величину полезности всех возможных исходов некоторого решения, где весами выступают вероятности наступления этих исходов. Ожидаемая полезность является ключевым инструментом теории принятия решений в условиях неопределённости и риска, позволяя количественно оценить предпочтения лица, принимающего решение, относительно рискованных альтернатив. В отличие от математического ожидания денежного выигрыша, ожидаемая полезность учитывает субъективную ценность каждого исхода для индивида, что объясняет нежелание большинства людей участвовать в азартных играх с равными шансами на выигрыш и проигрыш.

¶История возникновения и развития

¶Истоки в теории вероятностей

Первые формальные попытки оценить выгодность рискованных действий были предприняты в XVII веке математиками Блезом Паскалем и Пьером Ферма в переписке о задачах, связанных с азартными играми. Однако понятие «ожидаемое значение» в современном смысле ввёл голландский учёный Христиан Гюйгенс в трактате «О расчётах в азартных играх» (1657). Гюйгенс определил математическое ожидание как сумму произведений возможных выигрышей на их вероятности.

¶Парадокс Сент-Петербурга

В 1738 году швейцарский математик Даниил Бернулли опубликовал работу, в которой предложил концепцию ожидаемой полезности для разрешения так называемого Сент-Петербургского парадокса. Парадокс заключался в том, что игра с бесконечно растущим математическим ожиданием выигрыша (подбрасывание монеты до выпадения орла, с удвоением ставки) оказывалась неинтересной для рационального игрока из-за малой вероятности крупного выигрыша. Бернулли предположил, что люди оценивают не денежные суммы, а их субъективную полезность, которая растёт убывающим темпом (закон убывающей предельной полезности). Таким образом, полезность выигрыша в 100 рублей для бедного человека выше, чем для богатого, а полезность выигрыша в 1 миллион рублей не в 1000 раз больше полезности выигрыша в 1000 рублей.

¶Формализация фон Неймана и Моргенштерна

Современная теория ожидаемой полезности была строго формализована в 1944 году в книге Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение». Они предложили аксиоматический подход: если предпочтения индивида удовлетворяют определённым аксиомам (полнота, транзитивность, непрерывность, независимость и монотонность), то существует функция полезности, максимизация ожидаемого значения которой эквивалентна рациональному выбору. Эта модель стала основой микроэкономической теории и теории игр.

¶Критика и альтернативные теории

В 1950-х годах Морис Алле выявил парадокс, названный его именем, показавший, что реальные люди часто нарушают аксиому независимости. В 1979 году Даниэль Канеман и Амос Тверски разработали теорию перспектив, которая описывает, как люди на практике принимают решения в условиях риска, учитывая такие эффекты, как отвращение к потерям и искажение вероятностей. Несмотря на критику, теория ожидаемой полезности остаётся нормативной моделью рационального выбора.

¶Аксиомы рационального выбора

Фон Нейман и Моргенштерн сформулировали четыре основные аксиомы, необходимые для существования функции ожидаемой полезности:

• Аксиома полноты: для любых двух альтернатив A и B индивид может определить, какая из них предпочтительнее, или что они равноценны.
• Аксиома транзитивности: если A предпочтительнее B, а B предпочтительнее C, то A предпочтительнее C.
• Аксиома непрерывности: если A предпочтительнее B, а B предпочтительнее C, то существует такая вероятность p, при которой лотерея с исходами A (вероятность p) и C (вероятность 1-p) равноценна гарантированному исходу B.
• Аксиома независимости: если A предпочтительнее B, то для любой лотереи C и любой вероятности p лотерея, дающая A с вероятностью p и C с вероятностью 1-p, будет предпочтительнее лотереи, дающей B с вероятностью p и C с вероятностью 1-p.

¶Математическая формулировка

Ожидаемая полезность (EU) для набора исходов {x₁, x₂, ..., xₙ} с вероятностями {p₁, p₂, ..., pₙ} вычисляется по формуле: \[ EU = \sum_{i=1}^{n} p_i \cdot u(x_i) \] где u(x) — функция полезности индивида, отражающая субъективную ценность исхода x. Для рационального индивида выбор между альтернативами сводится к сравнению их ожидаемых полезностей: выбирается та, у которой EU максимальна.

¶Отношение к риску

Форма функции полезности u(x) определяет отношение индивида к риску:

• Нейтральность к риску: функция полезности линейна (u(x)=x). Индивид оценивает альтернативы исключительно по математическому ожиданию денежного выигрыша.
• Неприятие риска (рискофобия): функция полезности вогнута (u''(x)<0). Индивид предпочитает гарантированный доход лотерее с равным математическим ожиданием. Пример: выбор 100 рублей наверняка вместо 50% шанса выиграть 200 рублей.
• Склонность к риску (рискофилия): функция полезности выпукла (u''(x)>0). Индивид предпочитает рискованную альтернативу гарантированному доходу с тем же ожидаемым значением. Пример: покупка лотерейного билета с отрицательным математическим ожиданием.
• Смешанное отношение: функция может быть вогнутой для выигрышей и выпуклой для проигрышей, что соответствует теории перспектив.

¶Применение

¶Экономика и финансы

Теория ожидаемой полезности лежит в основе моделирования поведения потребителей и инвесторов. Она используется для оценки оптимального портфеля активов (модель Марковица), ценообразования опционов (модель Блэка-Шоулза) и анализа страховых рынков. Страхование, например, основано на неприятии риска: клиент платит премию, чтобы избежать маловероятного, но катастрофического убытка.

¶Теория игр

В теории игр ожидаемая полезность используется для вычисления смешанных стратегий, когда игроки выбирают действия случайным образом с определёнными вероятностями, чтобы максимизировать свой ожидаемый выигрыш. Равновесие Нэша в смешанных стратегиях требует, чтобы каждый игрок был безразличен к своим чистым стратегиям при заданных вероятностях оппонента.

¶Медицина и здравоохранение

В клинических исследованиях и анализе решений ожидаемая полезность применяется для оценки эффективности медицинских вмешательств. Например, при выборе между хирургической операцией с высоким риском летального исхода и консервативным лечением с низкой вероятностью полного выздоровления врач и пациент могут оценить ожидаемую полезность каждого варианта с учётом качества жизни (QALY — годы жизни с поправкой на качество).

¶Государственное управление

В анализе государственной политики ожидаемая полезность используется для оценки последствий различных решений, например, при выборе между строительством плотины (снижение риска наводнений) и сохранением природного ландшафта (экологические выгоды). Однако на практике часто применяются многокритериальные подходы, учитывающие распределение полезности среди разных групп населения.

¶Критика и ограничения

Основные возражения против теории ожидаемой полезности связаны с её нормативным характером: она описывает, как должен вести себя рациональный индивид, а не как люди ведут себя на самом деле. Экспериментальные исследования (парадокс Алле, парадокс Эллсберга) показывают систематические отклонения от предсказаний теории. Кроме того, аксиома независимости часто нарушается в реальных ситуациях, когда люди учитывают контекст и эмоции. В ответ на эти ограничения были разработаны альтернативные модели, такие как теория перспектив, теория сожаления и модель с учётом степени уверенности.

¶См. также

• Теория перспектив
• Математическое ожидание
• Функция полезности
• Парадокс Сент-Петербурга
• Парадокс Алле
• Теория игр

¶Источники

• Бернулли Д. «Опыт новой теории измерения жребия» (1738)
• фон Нейман Дж., Моргенштерн О. «Теория игр и экономическое поведение» (1944)
• Канеман Д., Тверски А. «Теория перспектив: анализ принятия решений в условиях риска» (1979)
• Алле М. «Поведение рационального человека в условиях риска: критика постулатов американской школы» (1953)
• Мас-Колелл А., Уинстон М.Д., Грин Дж.Р. «Микроэкономическая теория» (1995)