Пьер Ферма

Пьер Ферма — французский математик-самоучка, один из создателей аналитической геометрии и теории чисел, юрист по профессии. Жил в XVII веке (1601—1665). Наиболее известен своей Великой теоремой, которая оставалась недоказанной более 350 лет, а также фундаментальным вкладом в теорию вероятностей и оптику. Ферма не стремился публиковать свои работы, поэтому многие его открытия стали известны благодаря переписке с современниками и посмертным публикациям.

Биография

Пьер Ферма родился 17 августа 1601 года в городе Бомон-де-Ломань (Франция) в семье кожевника и торговца Доминика Ферма. Его мать, Клер де Лонг, происходила из семьи юристов. Первоначальное образование Ферма получил в монастырской школе, затем изучал право в Тулузском университете. В 1631 году он получил должность советника парламента (судебной палаты) в Тулузе, что обеспечило ему стабильный доход и время для занятий математикой.

Ферма женился на Луизе де Лонг, у них было пятеро детей. Всю жизнь он проработал юристом и чиновником, никогда не занимая академических должностей. Математика оставалась его страстным увлечением. Он вёл активную переписку с ведущими учёными Европы: Рене Декартом, Блезом Паскалем, Мареном Мерсенном, Джоном Уоллисом и другими. Ферма умер 12 января 1665 года в Кастре (Франция).

Математические достижения

Теория чисел

Ферма считается основоположником современной теории чисел. Он сформулировал ряд теорем, которые были доказаны лишь столетия спустя. Ключевые результаты:

• Малая теорема Ферма: если \(p\) — простое число и \(a\) — целое число, не делящееся на \(p\), то \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\).
• Великая теорема Ферма: для целого числа \(n > 2\) уравнение \(x^n + y^n = z^n\) не имеет решений в натуральных числах. Ферма оставил на полях книги «Арифметика» Диофанта заметку: «Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него». Доказательство было найдено только в 1994 году Эндрю Уайлсом.
• Теорема о сумме двух квадратов: простое число вида \(4k+1\) представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел единственным образом.
• Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике: площадь прямоугольного треугольника с целыми сторонами не может быть квадратом целого числа.

Аналитическая геометрия

Независимо от Рене Декарта, Ферма разработал основы аналитической геометрии. В своём трактате «Введение в изучение плоских и пространственных мест» (опубликован посмертно в 1679 году) он показал, как с помощью уравнений можно описывать кривые. Ферма использовал систему координат (фактически — прямоугольные оси), чтобы классифицировать конические сечения (эллипс, парабола, гипербола) и находить их уравнения.

Дифференциальное исчисление

Ферма разработал метод нахождения максимумов и минимумов функций, который фактически предвосхитил дифференциальное исчисление. Его метод заключался в приравнивании к нулю разности значений функции при малом приращении аргумента. Этот подход, известный как «метод Ферма», стал прообразом понятия производной. Он также применял его для нахождения касательных к кривым.

Теория вероятностей

В 1654 году в переписке с Блезом Паскалем Ферма заложил основы теории вероятностей. Они решали «задачу о разделе ставок»: как справедливо разделить выигрыш в прерванной игре, если игроки имеют разное количество очков. Ферма предложил комбинаторный подход, основанный на подсчёте всех возможных исходов. Эта работа считается началом математической теории вероятностей.

Вклад в оптику

Ферма сформулировал принцип Ферма (или принцип наименьшего времени): свет распространяется по пути, требующему наименьшего времени. Этот принцип позволил объяснить законы отражения и преломления света, включая закон Снеллиуса. Принцип Ферма стал одним из фундаментальных в геометрической оптике и позднее был обобщён в вариационном исчислении.

Публикации и наследие

Ферма не публиковал свои работы при жизни. Большинство его результатов было изложено в письмах к коллегам и заметках на полях книг. После его смерти старший сын Клеман-Самюэль издал в 1670 году «Арифметику» Диофанта с комментариями отца, а в 1679 году — сборник «Различные математические труды».

В честь Ферма названы:

• Малая и Великая теоремы Ферма.
• Принцип Ферма в оптике.
• Числа Ферма (вида \(2^{2^n}+1\)).
• Тест Ферма на простоту.
• Кратер на Луне и астероид (12007) Fermat.

Критика и спорные моменты

Некоторые утверждения Ферма (особенно Великая теорема) долгое время воспринимались скептически, поскольку он не оставил доказательств. В XX веке было доказано, что его «чудесное доказательство» для \(n=4\) (метод бесконечного спуска) не обобщается на все степени. Однако в целом математическое наследие Ферма признано бесспорным. Его метод бесконечного спуска (доказательство от противного, основанное на невозможности бесконечного убывания натуральных чисел) стал стандартным приёмом в теории чисел.

Источники

• Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. — М.: Наука, 1984.
• Математика XVII столетия / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970.
• Сингх С. Великая теорема Ферма. — М.: МЦНМО, 2000.
• Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1989.
• Оре О. Приглашение в теорию чисел. — М.: Наука, 1980.