Правило Верещагина

Правило Верещагина — это метод графического вычисления интеграла Мора, применяемый в строительной механике и сопротивлении материалов для определения перемещений (прогибов, углов поворота) в упругих стержневых системах. Правило позволяет заменить аналитическое интегрирование произведения двух функций на более простую операцию перемножения площади эпюры одной из них на ординату другой под её центром тяжести. Метод был предложен советским учёным-механиком Александром Степановичем Верещагиным в 1925 году.

История возникновения

До появления правила Верещагина определение перемещений в балках и рамах требовало вычисления определённых интегралов от произведений функций изгибающих моментов. Для систем с постоянной жёсткостью (EI = const) интеграл Мора имеет вид:

\[ \Delta = \int \frac{M \cdot \overline{M}}{EI} \, dx \]

где \(M\) — функция изгибающего момента от внешней нагрузки, \(\overline{M}\) — функция изгибающего момента от единичной силы, приложенной в направлении искомого перемещения.

А. С. Верещагин, работая в Московском институте инженеров транспорта, заметил, что для большинства практических задач эпюры \(M\) и \(\overline{M}\) имеют вид прямых линий или парабол. Он предложил заменить интегрирование перемножением площади эпюры \(M\) на ординату эпюры \(\overline{M}\) под центром тяжести первой эпюры. Метод был опубликован в 1925 году в работе «Новый метод вычисления интегралов Мора» и быстро вошёл в инженерную практику благодаря своей наглядности и простоте.

Сущность метода

Математическая основа

Правило Верещагина применимо, когда одна из эпюр (обычно \(\overline{M}\)) является линейной функцией на рассматриваемом участке. В этом случае интеграл Мора может быть вычислен по формуле:

\[ \Delta = \frac{1}{EI} \cdot \omega \cdot y_c \]

где:

• \(\omega\) — площадь эпюры \(M\) на данном участке;
• \(y_c\) — ордината эпюры \(\overline{M}\), взятая под центром тяжести эпюры \(M\).

Условия применения

Для корректного использования правила необходимо соблюдение следующих условий:

1. Стержень (участок) должен быть прямолинейным.
2. Жёсткость сечения (EI) должна быть постоянной на всём участке.
3. Хотя бы одна из эпюр (обычно единичная) должна быть линейной. Если обе эпюры криволинейны, правило не применяется напрямую — требуется разбиение на участки или использование других методов.
4. Эпюры должны быть построены в одной системе координат.

Порядок расчёта

1. Строится эпюра изгибающих моментов \(M\) от заданной внешней нагрузки.
2. В направлении искомого перемещения прикладывается единичная сила (для линейного перемещения) или единичный момент (для углового перемещения).
3. Строится эпюра \(\overline{M}\) от этой единичной нагрузки.
4. Стержневая система разбивается на участки, в пределах которых эпюры имеют простую геометрическую форму (треугольник, прямоугольник, параболический сегмент и т. д.).
5. Для каждого участка вычисляется площадь \(\omega\) эпюры \(M\) и определяется положение её центра тяжести.
6. Под центром тяжести эпюры \(M\) находится ордината \(y_c\) на эпюре \(\overline{M}\).
7. Произведение \(\omega \cdot y_c\) суммируется по всем участкам, после чего делится на EI.

Типовые случаи перемножения эпюр

Простейшие фигуры

Перемножение трапеций

Если обе эпюры имеют вид трапеций (линейные), применяется формула Симпсона-Корноухова, являющаяся частным случаем правила Верещагина:

\[ \omega \cdot y_c = \frac{l}{6} \left( M_1 \cdot \overline{M}_1 + M_2 \cdot \overline{M}_2 + 4 M_c \cdot \overline{M}_c \right) \]

где \(M_1, M_2\) — значения на концах участка эпюры \(M\), \(\overline{M}_1, \overline{M}_2\) — на концах эпюры \(\overline{M}\), \(M_c, \overline{M}_c\) — значения в середине участка.

Пример применения

Рассмотрим простую балку длиной \(l\) с шарнирными опорами, нагруженную равномерно распределённой нагрузкой \(q\). Требуется определить прогиб в середине пролёта.

1. Эпюра \(M\) от нагрузки: парабола с максимальной ординатой \(ql^2/8\) в середине.
2. Единичная сила прикладывается в середине пролёта вниз.
3. Эпюра \(\overline{M}\): треугольник с максимальной ординатой \(l/4\) в середине.
4. Площадь эпюры \(M\): \(\omega = \frac{2}{3} \cdot l \cdot \frac{ql^2}{8} = \frac{ql^3}{12}\).
5. Центр тяжести параболы находится на расстоянии \(3l/8\) от опоры, то есть в середине пролёта (для симметричной нагрузки).
6. Ордината \(y_c\) под центром тяжести: \(y_c = \frac{l}{4}\).
7. Прогиб: \(\Delta = \frac{1}{EI} \cdot \frac{ql^3}{12} \cdot \frac{l}{4} = \frac{ql^4}{48 EI}\).

Результат совпадает с точным аналитическим решением.

Преимущества и ограничения

Преимущества

• Значительно упрощает вычисления по сравнению с прямым интегрированием.
• Нагляден — позволяет визуально контролировать результат.
• Не требует сложного математического аппарата.
• Применим для большинства типовых расчётов в строительной механике.

Ограничения

• Неприменим для криволинейных стержней.
• Требует постоянства жёсткости на участке.
• При сложных эпюрах (например, от нескольких нагрузок) необходимо разбиение на участки и применение принципа суперпозиции.
• Не работает, если обе эпюры нелинейны.

Значение в инженерной практике

Правило Верещагина является одним из базовых методов расчёта строительных конструкций. Оно входит в обязательную программу обучения студентов строительных и механических специальностей в России и странах бывшего СССР. Метод широко применяется при проектировании балок, рам, ферм и других стержневых систем, где требуется определить деформации под нагрузкой. Несмотря на развитие численных методов (например, метода конечных элементов), правило Верещагина сохраняет свою ценность для быстрых ручных расчётов и проверки результатов компьютерного моделирования.

Интересные факты

• Александр Степанович Верещагин (1889–1977) был профессором Московского института инженеров транспорта (ныне Российский университет транспорта). Его имя носит также один из методов расчёта устойчивости сжатых стержней.
• В зарубежной литературе аналогичный метод часто называют «правилом Мора-Верещагина» или «графическим методом Мора», хотя сам Мор не предлагал такого упрощения.
• В 1950-е годы правило было распространено на расчёты с учётом температурных воздействий и осадок опор.

Источники

• Верещагин А. С. «Новый метод вычисления интегралов Мора» — Труды МИИТ, 1925.
• Дарков А. В., Шапошников Н. Н. «Строительная механика» — М.: Высшая школа, 1986.
• Снитко Н. К. «Строительная механика» — М.: Стройиздат, 1980.
• Киселёв В. А. «Строительная механика. Общий курс» — М.: Стройиздат, 1986.