Распределение арксинуса

Распределение арксинуса (также распределение арксинуса Бартлетта) — это непрерывное распределение вероятностей, которое описывает долю времени, проводимую одномерным случайным блужданием (или броуновским движением) по одну сторону от нулевого уровня. Распределение характеризуется плотностью вероятности, имеющей U-образную форму с бесконечными пиками на границах интервала [0, 1]. Название происходит от того, что функция распределения выражается через обратную тригонометрическую функцию — арксинус.

История

Распределение арксинуса было впервые описано в 1939 году американским статистиком М. С. Бартлеттом в контексте анализа случайных блужданий. Однако широкую известность оно получило после публикации в 1956 году работы Уильяма Феллера «Об асимптотическом распределении числа положительных сумм» (Feller W. «On the asymptotic distribution of the number of positive sums»). Феллер показал, что в длинной сессии случайного блуждания доля времени, проведённого на положительной стороне, подчиняется именно этому распределению, а не, как можно было бы ожидать, нормальному или равномерному. Этот результат стал известен как «закон арксинуса Феллера» и продемонстрировал контр-интуитивный характер случайных процессов: в большинстве реализаций случайное блуждание проводит почти всё время либо выше, либо ниже нуля, и лишь в очень малой доле случаев оно часто пересекает нулевую линию.

Определение

Распределение арксинуса задаётся на интервале [0, 1]. Его функция плотности вероятности (PDF) имеет вид:

\[ f(x) = \frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)}}, \quad 0 < x < 1 \]

Функция распределения (CDF) выражается через арксинус:

\[ F(x) = \frac{2}{\pi} \arcsin(\sqrt{x}), \quad 0 \le x \le 1 \]

Квантильная функция (обратная функция распределения) равна:

\[ Q(p) = \sin^2\left(\frac{\pi p}{2}\right), \quad 0 \le p \le 1 \]

Свойства

Моменты и характеристики

• Математическое ожидание: \(E[X] = \frac{1}{2}\)
• Медиана: \(\frac{1}{2}\)
• Мода: не определена (плотность стремится к бесконечности на границах)
• Дисперсия: \(\text{Var}(X) = \frac{1}{8}\)
• Коэффициент асимметрии: \(0\)
• Коэффициент эксцесса: \(-\frac{3}{2}\)

Форма распределения

Плотность распределения арксинуса имеет U-образную форму: она стремится к бесконечности при \(x \to 0^{+}\) и \(x \to 1^{-}\), а минимальное значение принимает в точке \(x = \frac{1}{2}\), где \(f(\frac{1}{2}) = \frac{2}{\pi} \approx 0.6366\). Таким образом, распределение является бимодальным с бесконечными пиками на границах. Это означает, что случайная величина с таким распределением с высокой вероятностью принимает значения, близкие к 0 или 1, и редко — значения в средней части интервала.

Связь с другими распределениями

• Если \(X\) имеет распределение арксинуса, то случайная величина \(Y = 2X - 1\) имеет распределение с плотностью:

\[ f_Y(y) = \frac{1}{\pi \sqrt{1 - y^2}}, \quad -1 < y < 1 \] которое также называют распределением арксинуса (на интервале [-1, 1]).

• Распределение арксинуса является частным случаем бета-распределения с параметрами \(\alpha = \beta = \frac{1}{2}\): \(\text{Beta}(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\).

• Если \(Z\) — случайная величина, равномерно распределённая на [0, 1], то \(X = \sin^2(\pi Z/2)\) имеет распределение арксинуса.

Связь со случайными блужданиями и броуновским движением

Закон арксинуса Феллера

Пусть \(S_0 = 0, S_1, S_2, \dots, S_n\) — простое симметричное случайное блуждание с шагом \(+1\) или \(-1\) с равной вероятностью. Обозначим через \(N_n\) количество шагов, на которых \(S_k > 0\) (строго положительны) среди первых \(n\) шагов. Тогда при \(n \to \infty\) распределение доли \(N_n / n\) сходится к распределению арксинуса. Этот результат является одним из наиболее известных «парадоксов» теории вероятностей: вопреки интуиции, наиболее вероятно, что случайное блуждание проведёт почти всё время либо выше, либо ниже нуля.

Броуновское движение

Для стандартного броуновского движения \(B(t)\) (винеровского процесса) рассмотрим время \(\tau\), проведённое процессом на положительной полуоси за единичный интервал времени: \[ \tau = \int_0^1 \mathbb{I}_{\{B(t) > 0\}} \, dt \] Тогда \(\tau\) имеет распределение арксинуса. Этот результат также называют законом арксинуса для броуновского движения.

Примеры применения

• Финансовая математика: распределение арксинуса используется для моделирования доли времени, в течение которого цена актива находится выше некоторого уровня (например, выше начальной цены) в рамках модели геометрического броуновского движения.
• Теория очередей: время, в течение которого система массового обслуживания находится в занятом состоянии относительно общего времени наблюдения, при определённых условиях подчиняется распределению арксинуса.
• Статистическая физика: распределение арксинуса описывает долю времени, которую частица в одномерном случайном блуждании проводит по одну сторону от начального положения.
• Эконометрика: анализ длительности периодов роста и спада экономических показателей (например, ВВП) может демонстрировать свойства, близкие к распределению арксинуса.

Критика и ограничения

Распределение арксинуса часто воспринимается как контр-интуитивное, что породило ряд критических замечаний. Основное ограничение связано с тем, что результаты Феллера справедливы для идеализированных моделей (бесконечное время, независимые одинаково распределённые шаги). В реальных данных (например, финансовых временных рядах) часто наблюдаются отклонения от предсказаний закона арксинуса из-за наличия трендов, автокорреляции и нестационарности. Кроме того, распределение арксинуса не подходит для моделирования долей времени, когда процесс может оставаться на нуле (например, в дискретных моделях с возвращением в ноль).

Интересные факты

• Закон арксинуса Феллера иногда называют «парадоксом Феллера», поскольку он демонстрирует, что в случайном блуждании наиболее вероятны экстремальные сценарии (почти всегда выше или почти всегда ниже нуля), а не «типичные» (примерно половина времени).
• Распределение арксинуса является одним из немногих распределений, у которых математическое ожидание равно медиане, но мода не определена.
• В бета-распределении параметры \(\alpha = \beta = 1/2\) соответствуют распределению арксинуса; при \(\alpha = \beta = 1\) бета-распределение становится равномерным.

Источники

• Feller W. «An Introduction to Probability Theory and Its Applications», Vol. 2, Wiley, 1966.
• Бартлетт М. С. «О распределении арксинуса» // Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 1939.
• Ширяев А. Н. «Вероятность», М.: Наука, 1989.
• Grimmett G., Stirzaker D. «Probability and Random Processes», Oxford University Press, 2001.