Рауль Ботт

Рауль Ботт — американский математик, один из крупнейших топологов XX века, известный своими работами в области алгебраической топологии, дифференциальной геометрии и теории групп Ли. Наиболее значимые достижения Ботта связаны с созданием теории периодичности в гомотопических группах классических групп Ли (теорема периодичности Ботта) и развитием теории характеристических классов (теорема Ботта — об исчезновении некоторых когомологических инвариантов). Его работы оказали глубокое влияние на современную математическую физику, особенно на теорию калибровочных полей и теорию струн.

Биография

Ранние годы и образование

Рауль Ботт родился 24 сентября 1923 года в Будапеште (Венгрия) в еврейской семье. Его отец был инженером, мать — домохозяйкой. В 1938 году, после аншлюса Австрии и усиления антисемитских законов в Венгрии, семья эмигрировала в Канаду. Ботт окончил среднюю школу в Монреале, а затем поступил в Университет Макгилла, где изучал инженерное дело. Однако интерес к математике привёл его к смене специализации: в 1946 году он получил степень бакалавра по математике, а в 1947 году — магистерскую степень.

Научная карьера

В 1949 году Ботт защитил докторскую диссертацию в Университете Карнеги-Меллона (Питтсбург) под руководством Ричарда Даффина. Тема диссертации была посвящена теории электрических цепей, но вскоре его интересы сместились в сторону топологии. В 1951 году он получил должность преподавателя в Мичиганском университете, а в 1955 году перешёл в Гарвардский университет, где проработал до выхода на пенсию в 1999 году. В Гарварде Ботт занимал должность профессора математики, а с 1975 года — именного профессора (William Caspar Graustein Professor of Mathematics).

Личная жизнь и наследие

Ботт был женат на Филис Ботт (урождённой Голдман), с которой прожил более 50 лет. У них родилось трое детей. Рауль Ботт скончался 20 декабря 2005 года в Кембридже (штат Массачусетс). Его научное наследие включает более 150 статей и несколько монографий, а также множество учеников, ставших ведущими математиками (среди них — Майкл Атья, Стивен Смейл, Джон Милнор).

Основные научные достижения

Теорема периодичности Ботта

Центральным результатом в творчестве Ботта является теорема периодичности, опубликованная в 1957–1959 годах. Она описывает периодичность гомотопических групп классических групп Ли (ортогональной, унитарной, симплектической). В простейшей формулировке для унитарной группы \( U(n) \) при больших \( n \) выполняется: \[ \pi_k(U(n)) \cong \pi_{k+2}(U(n)), \] где \( \pi_k \) — \( k \)-я гомотопическая группа. Для ортогональной группы \( O(n) \) период равен 8, для симплектической — 8, для унитарной — 2. Эта теорема стала фундаментом для развития алгебраической \( K \)-теории и топологической \( K \)-теории, а также для понимания стабильных гомотопических групп сфер.

Теорема Ботта об исчезновении

В 1965 году Ботт доказал, что для компактного многообразия \( M \) все характеристические классы (например, классы Понтрягина) касательного расслоения \( TM \) исчезают в когомологиях с действительными коэффициентами, если \( M \) допускает метрику с положительной кривизной Риччи. Этот результат, известный как теорема Ботта об исчезновении, стал важным инструментом в дифференциальной геометрии и теории индекса.

Теория индекса и связь с физикой

Совместно с Майклом Атьей и Изадором Зингером Ботт участвовал в разработке теоремы Атьи — Зингера об индексе, которая связывает аналитические инварианты эллиптических операторов (например, оператора Дирака) с топологическими инвариантами многообразий. Эта теорема нашла широкое применение в квантовой теории поля, особенно в калибровочных теориях (например, в инстантонах) и в теории струн.

Другие работы

• Теория Морса: Ботт развил теорию Морса для функций с вырожденными критическими точками (теория Морса — Ботта), что позволило изучать топологию пространств петель.
• Алгебраическая топология: Ввёл понятие цикла Ботта и когомологий Ботта, используемые в теории характеристических классов.
• Математическая физика: Работы Ботта по инстантонам и монополям (совместно с Атьей) заложили основы топологического подхода к калибровочным полям.

Награды и признание

• Премия Стила (1987) — за выдающийся вклад в математику.
• Национальная научная медаль США (1987) — за фундаментальные исследования в топологии.
• Премия Вольфа (2000) — совместно с Жаном-Пьером Серром за вклад в алгебраическую топологию и теорию групп Ли.
• Член Национальной академии наук США (с 1964), Американской академии искусств и наук, иностранный член Лондонского королевского общества (с 1991).

Влияние на математику и физику

Работы Ботта оказали определяющее влияние на несколько разделов современной математики:

• Алгебраическая \( K \)-теория: Теорема периодичности стала её основой.
• Дифференциальная геометрия: Теорема об исчезновении и теория Морса — Ботта используются при изучении многообразий с положительной кривизной.
• Математическая физика: Периодичность Ботта лежит в основе классификации топологических фаз материи (например, топологических изоляторов), а также в теории струн (модели компактификации Калаби — Яу).

Интересные факты

• Ботт был известен своим остроумием и любовью к музыке. Он играл на скрипке и часто посещал концерты классической музыки.
• В 1990-х годах он активно участвовал в популяризации математики, читая лекции для широкой аудитории.
• Его имя носит институт Рауля Ботта при Гарвардском университете, занимающийся исследованиями в области топологии и геометрии.

Источники

• Raoul Bott. Selected Papers. Vol. 1–4. — Birkhäuser, 1994–1995.
• Atiyah M., Singer I. The index of elliptic operators on compact manifolds // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1963. — Vol. 69.
• Bott R., Tu L. Differential Forms in Algebraic Topology. — Springer, 1982.
• Milnor J. Morse Theory. — Princeton University Press, 1963 (включает изложение теории Морса — Ботта).
• Некролог в The New York Times (22 декабря 2005).