Сопряжённое пространство

Сопряжённое пространство (также дуальное пространство, двойственное пространство) — в линейной алгебре и функциональном анализе множество всех линейных функционалов, определённых на данном векторном пространстве, которое само является векторным пространством относительно естественных операций сложения и умножения на скаляр. Сопряжённое пространство играет фундаментальную роль в теории линейных операторов, дифференциальных уравнениях, квантовой механике и других разделах математики и физики.

Определение

Пусть \( V \) — векторное пространство над полем \( \mathbb{K} \) (обычно \( \mathbb{R} \) или \( \mathbb{C} \)). Линейным функционалом (или ковектором) на \( V \) называется отображение \( f: V \to \mathbb{K} \), удовлетворяющее условию линейности: \[ f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in V, \ \forall \alpha, \beta \in \mathbb{K}. \]

Множество всех линейных функционалов на \( V \) обозначается \( V^* \) (или \( V' \)). На этом множестве вводятся две операции:

• Сложение: \( (f + g)(x) = f(x) + g(x) \);
• Умножение на скаляр: \( (\alpha f)(x) = \alpha f(x) \).

Относительно этих операций \( V^* \) само является векторным пространством над полем \( \mathbb{K} \). Оно называется сопряжённым пространством к \( V \).

Свойства

Размерность

Если \( V \) — конечномерное пространство размерности \( n \), то \( V^ \) также имеет размерность \( n \). Более того, \( V \) и \( V^ \) изоморфны, хотя канонического изоморфизма между ними не существует (изоморфизм зависит от выбора базиса). В бесконечномерном случае размерность \( V^* \) строго больше размерности \( V \) (если \( V \) не является гильбертовым пространством с непрерывными функционалами).

Базис и координаты

Пусть \( \{ e_1, e_2, \dots, e_n \} \) — базис \( V \). Тогда сопряжённый базис \( \{ e^1, e^2, \dots, e^n \} \) в \( V^ \) определяется условием: \[ e^i(e_j) = \delta^i_j, \] где \( \delta^i_j \) — символ Кронекера (1, если \( i = j \), и 0 иначе). Любой функционал \( f \in V^ \) однозначно записывается как \( f = \sum_{i=1}^n a_i e^i \), где \( a_i = f(e_i) \).

Двойственность и билинейные формы

Сопряжённое пространство тесно связано с понятием спаривания (билинейной формы). Каноническое спаривание между \( V \) и \( V^ \) задаётся как: \[ \langle x, f \rangle = f(x) \quad \forall x \in V, \ f \in V^. \] Это отображение \( V \times V^* \to \mathbb{K} \) является билинейным и невырожденным.

Виды сопряжённых пространств

Алгебраическое сопряжённое пространство

Рассматривается для произвольных (не обязательно топологических) векторных пространств. Включает все линейные функционалы без дополнительных условий. В бесконечномерном случае алгебраическое сопряжённое пространство может быть чрезвычайно большим и неудобным для анализа.

Топологическое сопряжённое пространство

В функциональном анализе, когда \( V \) является топологическим векторным пространством (например, нормированным или гильбертовым), рассматривают только непрерывные линейные функционалы. Такое пространство обозначается \( V' \) (или \( V^ \), если из контекста ясно, что речь о непрерывных функционалах). Топологическое сопряжённое пространство наделяется слабой топологией (weak* topology), которая позволяет изучать сходимость функционалов.

Сопряжённое в гильбертовом пространстве

В гильбертовом пространстве \( H \) (полном относительно скалярного произведения) по теореме Рисса об отождествлении каждый непрерывный линейный функционал \( f \) имеет вид \( f(x) = \langle x, y \rangle \) для единственного \( y \in H \). Таким образом, \( H' \) изометрически изоморфно \( H \), и часто говорят, что гильбертово пространство самосопряжённо.

Примеры

Конечномерное евклидово пространство

Для \( V = \mathbb{R}^n \) сопряжённое пространство \( (\mathbb{R}^n)^* \) изоморфно \( \mathbb{R}^n \). Каждый функционал задаётся скалярным произведением с фиксированным вектором: \( f(x) = \langle x, a \rangle \).

Пространство последовательностей

Рассмотрим пространство \( \ell^p \) (\( 1 \le p < \infty \)) — последовательностей, суммируемых с \( p \)-й степенью. Его сопряжённое пространство \( (\ell^p)' \) изоморфно \( \ell^q \), где \( 1/p + 1/q = 1 \) (для \( p = 1 \) — \( q = \infty \), для \( p = \infty \) — сложнее). Например, \( (\ell^2)' \cong \ell^2 \).

Пространство непрерывных функций

Для пространства \( C([0,1]) \) непрерывных функций на отрезке с sup-нормой сопряжённое пространство \( C([0,1])' \) изоморфно пространству конечных борелевских мер (по теореме Рисса — Маркова — Какутани).

Применение

Теория линейных операторов

Сопряжённое пространство используется для определения сопряжённого оператора. Если \( A: V \to W \) — линейный оператор, то сопряжённый оператор \( A^: W^ \to V^ \) действует по формуле: \[ (A^ f)(x) = f(A x) \quad \forall x \in V, \ f \in W^*. \] Это позволяет переносить свойства операторов между пространствами.

Дифференциальные уравнения и обобщённые функции

В теории обобщённых функций (распределений) сопряжённое пространство к пространству основных функций (например, \( C^\infty_c(\mathbb{R}^n) \)) даёт пространство обобщённых функций, включая дельта-функцию Дирака и её производные.

Квантовая механика

В квантовой механике состояния системы описываются векторами гильбертова пространства (бра-векторами), а линейные функционалы — кет-векторами. Сопряжённое пространство используется для формализации скалярного произведения и наблюдаемых величин.

Оптимизация и двойственные задачи

В выпуклом анализе и линейном программировании сопряжённое пространство применяется для построения двойственных задач, что позволяет оценивать оптимальные значения и находить решения.

Интересные факты

• Каноническое вложение: Существует естественное вложение \( V \to V^{} \) (второе сопряжённое пространство), задаваемое как \( x \mapsto \hat{x} \), где \( \hat{x}(f) = f(x) \). Если это вложение является изоморфизмом, пространство называется рефлексивным**. К рефлексивным относятся все конечномерные пространства, гильбертовы пространства и \( \ell^p \) при \( 1 < p < \infty \).
• Сопряжённое к сопряжённому: Пространство \( V^{**} \) (второе сопряжённое) всегда содержит \( V \) как подпространство, но может быть значительно больше (например, для \( \ell^\infty \) второе сопряжённое — это пространство конечно-аддитивных мер).
• Исторический контекст: Понятие сопряжённого пространства было введено в начале XX века в работах Мориса Фреше и Стефана Банаха, а затем развито в функциональном анализе.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.
• Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства. — М.: Физматгиз, 1963.
• Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1: Функциональный анализ. — М.: Мир, 1977.