Теорема Грина¶

Теорема Грина — это фундаментальная теорема векторного анализа, устанавливающая связь между двойным интегралом по плоской области и криволинейным интегралом по её границе. Она является частным случаем (для двумерного пространства) более общей теоремы Стокса и служит основой для многих приложений в физике, гидродинамике и электромагнетизме.

¶Формулировка

Пусть \( D \) — компактная область на плоскости, граница которой \( \partial D \) является кусочно-гладкой замкнутой кривой, ориентированной положительно (против часовой стрелки). Пусть функции \( P(x, y) \) и \( Q(x, y) \) определены и непрерывно дифференцируемы в некоторой открытой области, содержащей \( D \). Тогда:

\[ \oint_{\partial D} (P \, dx + Q \, dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx \, dy. \]

Левая часть равенства представляет собой криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру, правая — двойной интеграл от разности частных производных по области.

¶История

Теорема названа в честь британского математика и физика Джорджа Грина (1793–1841). Грин, будучи самоучкой, опубликовал её в 1828 году в эссе «О применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма» (An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism). Эта работа, написанная на 100 страницах, была издана тиражом 100 экземпляров за счёт автора. В ней Грин впервые ввёл понятие потенциала и сформулировал теоремы, связывающие объёмные и поверхностные интегралы, которые позже стали известны как формулы Грина. Теорема, ныне носящая его имя, была выделена из этих формул как частный случай для плоского случая.

Работа Грина долгое время оставалась малоизвестной. Она была переиздана лишь в 1850 году благодаря усилиям Уильяма Томсона (лорда Кельвина), который оценил её значение. Впоследствии теорема Грина стала стандартным инструментом математического анализа.

¶Связь с другими теоремами

Теорема Грина является двумерным аналогом теоремы Остроградского-Гаусса (связывающей поток векторного поля через замкнутую поверхность с объёмным интегралом от дивергенции) и частным случаем теоремы Стокса (связывающей циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру с потоком ротора через поверхность, натянутую на этот контур).

Если рассматривать векторное поле \( \mathbf{F} = (P, Q) \), то подынтегральное выражение в правой части теоремы Грина — это \( \text{rot} \, \mathbf{F} \) (ротор поля) в двумерном случае, а криволинейный интеграл — циркуляция поля по контуру.

¶Доказательство

Доказательство теоремы Грина обычно проводится для областей простого типа (например, \( D = \{ (x, y) : a \le x \le b, \, \varphi_1(x) \le y \le \varphi_2(x) \} \)) и затем обобщается на произвольные области путём разбиения на конечное число таких подобластей.

Для области, ограниченной снизу и сверху графиками функций, интеграл по \( y \) от \( \frac{\partial P}{\partial y} \) сводится к разности значений \( P \) на верхней и нижней границах, что даёт криволинейный интеграл по вертикальным участкам контура. Аналогично для \( Q \). Суммирование этих двух частей даёт полное равенство.

¶Применение

¶Вычисление площадей

Одно из наиболее известных приложений теоремы Грина — вычисление площади плоской фигуры через криволинейный интеграл по её границе. Если выбрать \( P = -y/2 \), \( Q = x/2 \), то подынтегральное выражение \( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 \), и площадь \( S \) области \( D \) равна:

\[ S = \iint_D dx\,dy = \frac{1}{2} \oint_{\partial D} (x\,dy - y\,dx). \]

Этот метод часто используется в геодезии и картографии для вычисления площадей участков по координатам их границ (формула площади Гаусса).

¶Физика

• Электромагнетизм: Теорема Грина лежит в основе вывода уравнений Максвелла в интегральной форме. Например, закон электромагнитной индукции Фарадея связывает циркуляцию электрического поля с изменением магнитного потока.
• Гидродинамика: Используется для анализа циркуляции жидкости и вихревых потоков. Позволяет переходить от локальных характеристик поля (ротора) к интегральным (циркуляции).
• Термодинамика: Применяется при расчёте работы в циклических процессах, где работа газа равна площади, ограниченной кривой на \( pV \)-диаграмме.

¶Математика

• Теория потенциала: Формулы Грина (первая и вторая тождества Грина) являются следствием теоремы Грина и используются для решения краевых задач для уравнения Лапласа и Пуассона.
• Комплексный анализ: Теорема Грина является основой для доказательства интегральной теоремы Коши, которая связывает интегралы от аналитических функций по замкнутому контуру с нулём.

¶Обобщения

Теорема Грина обобщается на случай поверхностей и пространств высших размерностей в виде теоремы Стокса (для многообразий с краем). В трёхмерном пространстве её аналогом является теорема Стокса для поверхностей, а в \( n \)-мерном — теорема Стокса для дифференциальных форм.

¶Пример

Рассмотрим область \( D \) — круг радиусом \( R \) с центром в начале координат. Вычислим циркуляцию поля \( \mathbf{F} = (-y, x) \) по границе \( \partial D \) (окружности). По теореме Грина:

\[ \oint_{\partial D} (-y\,dx + x\,dy) = \iint_D \left( \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} \right) dx\,dy = \iint_D (1 - (-1)) dx\,dy = 2 \iint_D dx\,dy = 2 \pi R^2. \]

Непосредственное вычисление криволинейного интеграла по параметризованной окружности \( x = R \cos t, y = R \sin t, t \in [0, 2\pi] \) даёт тот же результат: \( \int_0^{2\pi} (R^2 \cos^2 t + R^2 \sin^2 t) dt = 2\pi R^2 \).

¶Интересные факты

• Теорема Грина была опубликована на 20 лет раньше, чем теорема Стокса, и на 10 лет раньше, чем теорема Остроградского-Гаусса, хотя исторически эти результаты часто приписываются более поздним авторам.
• В русскоязычной литературе теорему Грина иногда называют формулой Грина, а её трёхмерные обобщения — формулами Грина для потенциалов.
• Теорема Грина применима не только к односвязным областям, но и к многосвязным (с «дырками»), если граница ориентирована соответствующим образом (внешний контур — против часовой стрелки, внутренние — по часовой).