Теорема Крауса

Теорема Крауса (также известная как теорема о представлении операторной суммы, или представление Крауса) — фундаментальный результат в квантовой теории информации и квантовой механике открытых систем, который описывает наиболее общий вид квантового преобразования (квантового канала), сохраняющего след и являющегося вполне положительным линейным отображением. Теорема утверждает, что любой такой канал может быть представлен в виде операторной суммы с конечным или счётным набором операторов Крауса.

История и контекст

Теорема была независимо получена несколькими учёными. Наиболее известна работа немецкого физика Карла Крауса, опубликованная в 1971 году в статье «General state changes in quantum theory» в журнале Annals of Physics. Однако аналогичные результаты ранее были получены в математике, в частности, в работах Уильяма Форрестера Стинеспринга (1955) и Вернона Полсона (1967) в контексте теории операторных алгебр. В квантовой физике теорема стала ключевым инструментом для описания динамики открытых квантовых систем, где квантовая система взаимодействует с окружением (резервуаром).

Формулировка

Пусть \(\mathcal{H}_A\) и \(\mathcal{H}_B\) — гильбертовы пространства, соответствующие входной и выходной квантовым системам. Квантовый канал \(\Phi\) — это линейное отображение из множества операторов плотности (матриц плотности) на \(\mathcal{H}_A\) в множество операторов плотности на \(\mathcal{H}_B\), которое удовлетворяет двум условиям:

1. Сохранение следа: \(\operatorname{Tr}[\Phi(\rho)] = \operatorname{Tr}[\rho]\) для всех операторов плотности \(\rho\).
2. Полная положительность: для любого расширения системы (добавления вспомогательной системы \(\mathcal{H}_R\)) отображение \(\Phi \otimes I_R\) является положительным, то есть переводит положительные операторы в положительные.

Теорема Крауса утверждает, что любой такой канал \(\Phi\) может быть записан в виде:

\[ \Phi(\rho) = \sum_{i=1}^{N} K_i \rho K_i^\dagger, \]

где \(\{K_i\}\) — набор операторов (называемых операторами Крауса), действующих из \(\mathcal{H}_A\) в \(\mathcal{H}_B\), а \(K_i^\dagger\) — эрмитово сопряжённый оператор. Число слагаемых \(N\) может быть конечным или бесконечным (счётным), но в практических приложениях оно обычно конечно и не превышает \(\dim(\mathcal{H}_A) \times \dim(\mathcal{H}_B)\). Операторы Крауса удовлетворяют условию полноты:

\[ \sum_{i=1}^{N} K_i^\dagger K_i = I_A, \]

где \(I_A\) — единичный оператор на \(\mathcal{H}_A\). Это условие эквивалентно сохранению следа канала.

Доказательство (основные идеи)

Доказательство теоремы опирается на конструкцию Стинеспринга, которая устанавливает изоморфизм между вполне положительными отображениями и *-гомоморфизмами на большем гильбертовом пространстве. Основные шаги:

1. Изометрическая дилатация: Для вполне положительного отображения \(\Phi\) существует гильбертово пространство \(\mathcal{H}_E\) (пространство окружения) и изометрия \(V: \mathcal{H}_A \to \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_E\) такая, что \(\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_E [V \rho V^\dagger]\), где \(\operatorname{Tr}_E\) — частичный след по пространству окружения.
2. Разложение по базису: Выбирается ортонормированный базис \(\{|e_i\rangle\}\) в \(\mathcal{H}_E\). Тогда операторы Крауса определяются как \(K_i = \langle e_i | V\), где скалярное произведение понимается как частичное взятие следа по окружению: \(K_i \rho = \langle e_i | (V \rho V^\dagger) | e_i \rangle\).
3. Проверка свойств: Из свойства изометрии \(V^\dagger V = I_A\) следует условие полноты \(\sum_i K_i^\dagger K_i = I_A\).

Свойства и следствия

Неединственность представления

Представление Крауса не является единственным. Если \(\{K_i\}\) — один набор операторов Крауса, то любой другой набор \(\{L_j\}\), связанный с ним унитарным преобразованием на пространстве индексов (возможно, с добавлением нулевых операторов), даёт то же самое отображение. Формально: \(L_j = \sum_i U_{ji} K_i\), где \(U\) — унитарная матрица (возможно, бесконечномерная), дополненная нулевыми строками для сохранения размерности.

Минимальное число операторов

Минимальное число операторов Крауса, необходимое для представления данного канала, называется числом Крауса или рангом канала. Оно равно рангу так называемой матрицы Чоя — оператора, построенного из канала \(\Phi\) путём применения его к половине максимально запутанного состояния. Для канала, действующего между пространствами размерности \(d_A\) и \(d_B\), число Крауса не превышает \(d_A \cdot d_B\).

Физическая интерпретация

Операторы Крауса описывают влияние окружения на квантовую систему. Каждый оператор \(K_i\) соответствует определённому результату измерения окружения (или определённому «квантовому скачку»). Условие полноты гарантирует, что сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1. Если окружение не измеряется, то квантовое состояние системы усредняется по всем возможным исходам, что и даёт операторную сумму.

Примеры

Унитарное преобразование

Если канал является унитарным (замкнутая система), то он представляется одним оператором Крауса: \(K_1 = U\), где \(U\) — унитарный оператор. Условие полноты выполняется автоматически: \(U^\dagger U = I\).

Деполяризующий канал

Для одного кубита деполяризующий канал с вероятностью ошибки \(p\) может быть представлен четырьмя операторами Крауса: \[ K_0 = \sqrt{1 - \frac{3p}{4}} I, \quad K_1 = \sqrt{\frac{p}{4}} \sigma_x, \quad K_2 = \sqrt{\frac{p}{4}} \sigma_y, \quad K_3 = \sqrt{\frac{p}{4}} \sigma_z, \] где \(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\) — матрицы Паули.

Канал с затуханием амплитуды

Для кубита, взаимодействующего с термостатом при нулевой температуре, канал затухания амплитуды имеет два оператора Крауса: \[ K_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{1 - \gamma} \end{pmatrix}, \quad K_1 = \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{\gamma} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \] где \(\gamma \in [0,1]\) — параметр затухания.

Применение

Теорема Крауса является основой для:

• Квантовой теории информации: Описание квантовых каналов связи, квантовых кодов коррекции ошибок, квантовой томографии.
• Квантовой оптики: Моделирование взаимодействия света с веществом (например, спонтанное излучение, декогеренция).
• Квантовых вычислений: Анализ шумов и ошибок в квантовых вентилях, симуляция открытых квантовых систем.
• Квантовой термодинамики: Описание необратимых процессов в квантовых системах.

Обобщения и связь с другими теоремами

• Теорема Стинеспринга: Более общая математическая конструкция, утверждающая, что любое вполне положительное отображение может быть представлено как композиция *-гомоморфизма и частичного следа.
• Теорема Чоя: Устанавливает изоморфизм между вполне положительными отображениями и положительными операторами на тензорном произведении (матрица Чоя).
• Обобщение на бесконечномерные пространства: Теорема Крауса справедлива и для сепарабельных гильбертовых пространств, хотя доказательство требует более тонких функционально-аналитических рассмотрений.
• Квантовые каналы с памятью: Для каналов, зависящих от предыдущих состояний, представление Крауса обобщается с использованием тензорных произведений операторов.

Критика и ограничения

Хотя теорема Крауса является универсальным инструментом, её применение имеет ограничения:

• Представление не единственно, что может затруднять физическую интерпретацию.
• Для бесконечномерных систем (например, непрерывные переменные) число операторов Крауса может быть бесконечным, что делает конструкцию менее удобной.
• Теорема описывает только каналы, сохраняющие след; для каналов с потерей частиц (например, в квантовой оптике с поглощением) требуется обобщение на несохраняющие след отображения.

Источники

• Kraus, K. (1971). «General state changes in quantum theory». Annals of Physics, 64(2), 311-335.
• Nielsen, M. A., & Chuang, I. L. (2010). «Quantum Computation and Quantum Information: 10th Anniversary Edition». Cambridge University Press.
• Holevo, A. S. (2001). «Statistical Structure of Quantum Theory». Springer.
• Paulsen, V. (2002). «Completely Bounded Maps and Operator Algebras». Cambridge University Press.