Теория прочности Мизеса

Теория прочности Мизеса (также известная как критерий текучести Мизеса, энергетическая теория прочности, теория максимальной энергии формоизменения) — это физическая теория, устанавливающая условие перехода материала из упругого состояния в пластическое (текучесть) при сложном напряжённом состоянии. Она основана на гипотезе о том, что текучесть наступает, когда удельная потенциальная энергия формоизменения (изменения формы) достигает критического значения, одинакового для данного материала при любом виде напряжённого состояния. Теория Мизеса является одной из наиболее широко используемых в инженерной практике для расчёта прочности пластичных материалов, таких как конструкционные стали и алюминиевые сплавы.

История

Теория была предложена австрийским учёным Рихардом фон Мизесом (Richard von Mises) в 1913 году. Мизес, работавший в области механики сплошных сред, математически обосновал критерий, исходя из представлений об энергии деформации. Однако идея об определяющей роли энергии формоизменения высказывалась ранее: в 1904 году польский инженер Максимилиан Губер (Maksymilian Huber) предложил аналогичный критерий для бетона, а в 1924 году немецкий учёный Генрих Генки (Heinrich Hencky) дал ему ясную физическую интерпретацию. В англоязычной литературе теорию часто называют критерием Губера — Мизеса — Генки (Huber–Mises–Hencky criterion). В СССР и России теория получила название энергетической теории прочности и была разработана в трудах советских учёных, в частности, И. И. Гольденблата и В. В. Новожилова.

Физическая сущность

Критерий Мизеса основан на разделении полной энергии упругой деформации на две составляющие:

• Энергия изменения объёма — связана с всесторонним сжатием или растяжением, не приводящим к изменению формы.
• Энергия формоизменения — связана с искажением формы элемента (сдвиговыми деформациями) без изменения объёма.

Согласно гипотезе, пластическое течение (текучесть) начинается, когда плотность энергии формоизменения достигает предельного значения, характерного для данного материала. Это значение определяется из опыта на одноосное растяжение (или сжатие), где предел текучести \(\sigma_{T}\) известен.

Математическая формулировка

В трёхмерном пространстве главных напряжений (\(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\)) условие текучести по Мизесу записывается в виде:

\[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 = 2\sigma_{T}^2 \]

или через интенсивность напряжений \(\sigma_i\):

\[ \sigma_i = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]} = \sigma_{T} \]

В произвольной системе координат (через компоненты тензора напряжений \(\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{zz}, \tau_{xy}, \tau_{yz}, \tau_{zx}\)) условие принимает вид:

\[ \sqrt{ \frac{1}{2} \left[ (\sigma_{xx} - \sigma_{yy})^2 + (\sigma_{yy} - \sigma_{zz})^2 + (\sigma_{zz} - \sigma_{xx})^2 + 6(\tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2) \right] } = \sigma_{T} \]

Величина в левой части называется эквивалентным напряжением по Мизесу (\(\sigma_{\text{Мизес}}\) или \(\sigma_{eq}\)). Если \(\sigma_{\text{Мизес}} < \sigma_{T}\) — материал находится в упругом состоянии; при \(\sigma_{\text{Мизес}} = \sigma_{T}\) — начинается текучесть.

Геометрическая интерпретация

В пространстве главных напряжений условие Мизеса представляет собой поверхность цилиндра, ось которого равнонаклонена к координатным осям (так называемая «девиаторная плоскость»). Радиус цилиндра равен \(\sqrt{2/3}\,\sigma_{T}\). Все точки внутри цилиндра соответствуют упругому состоянию, на поверхности — началу пластичности. Эта поверхность является гладкой, без угловых точек, что упрощает численные расчёты.

Сравнение с другими теориями прочности

Критерий Треска (критерий максимальных касательных напряжений)

Критерий Треска, предложенный в 1864 году, утверждает, что текучесть наступает, когда максимальное касательное напряжение достигает половины предела текучести при растяжении. В отличие от критерия Мизеса, поверхность Треска в пространстве главных напряжений — шестигранная призма. Различия между теориями составляют до 15% (по величине эквивалентного напряжения) при некоторых комбинациях нагрузок, особенно при чистом сдвиге. Эксперименты на пластичных материалах (сталь, медь) показывают, что критерий Мизеса точнее описывает начало текучести, особенно при сложных напряжённых состояниях.

Критерий Мора — Кулона

Применяется для хрупких материалов (бетон, горные породы), у которых предел прочности на сжатие значительно выше, чем на растяжение. Критерий Мизеса не учитывает различие в поведении при растяжении и сжатии, поэтому для хрупких материалов он неприменим.

Критерий максимальных нормальных напряжений (теория Галилея — Ренкина)

Используется для очень хрупких материалов (стекло, керамика). Согласно этой теории, разрушение наступает, когда максимальное главное напряжение достигает предела прочности. Для пластичных материалов она даёт завышенные оценки прочности.

Применение в инженерной практике

Теория прочности Мизеса является стандартом в большинстве инженерных расчётов пластичных материалов. Она используется:

• В методе конечных элементов (МКЭ) — для оценки напряжённо-деформированного состояния конструкций. Современные CAE-системы (ANSYS, Abaqus, SolidWorks Simulation) по умолчанию выводят эквивалентные напряжения по Мизесу.
• В машиностроении — при расчёте валов, зубчатых колёс, корпусных деталей, работающих при сложном нагружении.
• В строительстве — для расчёта стальных конструкций (мосты, каркасы зданий) по предельным состояниям.
• В авиа- и ракетостроении — при проектировании фюзеляжей, крыльев, баков высокого давления.
• В материаловедении — для построения кривых текучести и анализа пластического течения.

Ограничения

• Неприменимость для хрупких материалов (чугуны, керамика, бетон без армирования).
• Не учитывает анизотропию свойств (например, для древесины или композитов существуют специализированные критерии — Хилла, Цая — Ву).
• Не описывает поведение при циклических нагрузках (усталость) — для этого используются отдельные теории (критерии Смита — Уотсона — Топпера, Морроу и др.).
• Не учитывает влияние гидростатического давления на текучесть (для некоторых полимеров и грунтов это существенно).

Интересные факты

• В 1926 году советский учёный А. А. Ильюшин предложил обобщение теории Мизеса на случай упрочняющихся материалов, введя понятие «поверхности нагружения».
• Критерий Мизеса является частным случаем более общего критерия текучести Хилла, разработанного для анизотропных материалов.
• В гидродинамике и реологии аналогичный критерий (критерий Мизеса — Шлейхера) используется для описания начала течения вязкопластичных сред (например, в модели Бингама).

Источники

• Мизес Р. Механика твердых тел в пластическом состоянии // Сборник статей по теории пластичности. — М.: Иностранная литература, 1948.
• Гольденблат И. И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред. — М.: Гостехиздат, 1955.
• Новожилов В. В. Основы теории упругости и пластичности. — М.: Машиностроение, 1975.
• Хилл Р. Математическая теория пластичности. — М.: Гостехиздат, 1956.
• Тимоненко С. П. История науки о сопротивлении материалов. — М.: Гостехиздат, 1957.
• ANSYS Mechanical APDL Theory Reference. — ANSYS Inc., 2020.