Теория прочности Мора

Теория прочности Мора (также известная как теория прочности Мора — Кулона) — это физическая теория, описывающая условие перехода материала из упругого состояния в пластическое или хрупкое разрушение под действием сложного напряжённого состояния. Она основана на предположении, что прочность материала зависит не только от величины действующих напряжений, но и от соотношения между нормальными и касательными напряжениями на площадке сдвига. Данная теория является обобщением классических критериев прочности (Треска, Мизеса) для материалов, чьё сопротивление сжатию существенно отличается от сопротивления растяжению (например, горные породы, бетон, почвы, керамика). В отличие от энергетических теорий, теория Мора опирается на концепцию предельных кругов напряжений и огибающей этих кругов, называемой паспортом прочности материала.

История развития

Основы теории были заложены в конце XVIII века французским инженером Шарлем-Огюстеном де Кулоном, который в 1773 году предложил линейную зависимость между касательным и нормальным напряжением на площадке разрушения для сыпучих сред. Кулон эмпирически установил, что разрушение грунта происходит, когда касательное напряжение τ превышает сумму сцепления c и произведения нормального напряжения σ на коэффициент внутреннего трения tgφ (τ = c + σ·tgφ). Этот закон лёг в основу механики грунтов.

В 1882 году немецкий инженер Отто Мор предложил графический метод анализа напряжённого состояния с помощью кругов напряжений (круги Мора), что позволило наглядно представлять напряжённое состояние в точке. В начале XX века Мор развил общую теорию прочности, постулировав, что разрушение наступает, когда круг напряжений для данного напряжённого состояния касается огибающей предельных кругов, построенной для данного материала. Эта огибающая, или паспорт прочности, может быть как линейной (прямая Мора — Кулона), так и криволинейной (например, параболическая огибающая). Теория Мора стала важным шагом вперёд по сравнению с теорией наибольших касательных напряжений (Треска), так как она учитывала влияние гидростатического давления на прочность.

Физическая сущность и основные положения

Теория прочности Мора исходит из следующих допущений:

1. Разрушение материала происходит по определённым площадкам (площадкам сдвига или отрыва) в результате достижения критического сочетания нормальных и касательных напряжений.
2. Промежуточное главное напряжение σ₂ не влияет на условие прочности (в классической формулировке Мора). Это допущение является основным отличием от теории Мизеса и справедливо для многих хрупких и сыпучих материалов.
3. Прочность материала описывается огибающей предельных кругов Мора, которая строится экспериментально для каждого материала.

Круги Мора и огибающая прочности

Для анализа напряжённого состояния в точке строится круг Мора в координатах σ (нормальное напряжение) — τ (касательное напряжение). Диаметр круга равен разности максимального σ₁ и минимального σ₃ главных напряжений (σ₁ — σ₃), а центр расположен на оси σ в точке (σ₁ + σ₃)/2. Если круг Мора целиком лежит внутри области, ограниченной огибающей прочности, материал находится в упругом состоянии. Если круг касается огибающей, наступает предельное состояние (начало разрушения). Пересечение круга с огибающей невозможно, так как это означало бы, что материал уже разрушен.

Огибающая прочности (паспорт прочности) строится по результатам испытаний образцов при различных видах напряжённого состояния: одноосное растяжение, одноосное сжатие, чистый сдвиг, трёхосное сжатие. Для каждого испытания строится свой предельный круг Мора, и через эти круги проводится касательная кривая (или прямая). Наиболее простой и распространённой является линейная огибающая — прямая Мора — Кулона, уравнение которой: τ = c + σ·tgφ где:

• τ — предельное касательное напряжение;
• σ — нормальное напряжение на площадке сдвига;
• c — сцепление (когезия) материала;
• φ — угол внутреннего трения.

Угол внутреннего трения φ характеризует зависимость прочности от нормального давления: чем больше φ, тем сильнее материал упрочняется при сжатии. Сцепление c отражает прочность связей между частицами при отсутствии нормального давления.

Условие прочности по Мору — Кулону

В терминах главных напряжений условие прочности для линейной огибающей (прямая Мора — Кулона) записывается в виде: σ₁ — σ₃·K = σ_сж где K = σ_сж / σ_раст — коэффициент, равный отношению предела прочности при одноосном сжатии σ_сж к пределу прочности при одноосном растяжении σ_раст. Для идеально пластичных материалов (σ_сж = σ_раст) K = 1, и условие Мора переходит в условие Треска (τ_max = const). Для хрупких материалов (σ_сж >> σ_раст) K может достигать 10–20 (например, для бетона K ≈ 10, для горных пород K = 5–15). Условие прочности также может быть выражено через параметры c и φ: (σ₁ — σ₃) / 2 = c·cosφ + (σ₁ + σ₃)/2 · sinφ

Классификация материалов по теории Мора

Теория Мора позволяет классифицировать материалы по их поведению под нагрузкой:

• Пластичные материалы (мягкие стали, медь, алюминий): σ_сж ≈ σ_раст, K ≈ 1, огибающая близка к горизонтальной прямой. Разрушение происходит по площадкам максимальных касательных напряжений.
• Хрупкие материалы (чугун, бетон, камень, стекло): σ_сж >> σ_раст, K >> 1, огибающая имеет значительный наклон. Разрушение может происходить как по площадкам сдвига (при сжатии), так и по площадкам отрыва (при растяжении).
• Сыпучие материалы (песок, гравий, порошки): сцепление c ≈ 0, прочность определяется только внутренним трением (τ = σ·tgφ). Такие материалы не выдерживают растяжения (σ_раст = 0).

Применение теории прочности Мора

Теория прочности Мора широко используется в инженерной практике для расчёта прочности конструкций из материалов, чувствительных к виду напряжённого состояния:

Строительство и геотехника

• Механика грунтов: расчёт несущей способности оснований фундаментов, устойчивости откосов и подпорных стен, давления грунта на ограждения. Закон Кулона является основой всех классических методов расчёта грунтовых сооружений.
• Бетонные и железобетонные конструкции: оценка прочности бетона при сложном напряжённом состоянии (например, в зоне анкеровки арматуры, в сжатой зоне изгибаемых элементов). Для бетона часто используют модифицированные критерии (например, критерий Гениева — Карапетяна), основанные на теории Мора.
• Горное дело: расчёт устойчивости горных выработок, целиков, бортов карьеров. Горные породы (гранит, известняк, песчаник) имеют ярко выраженную зависимость прочности от давления.

Машиностроение

• Расчёт деталей из чугуна: серый чугун обладает высокой прочностью на сжатие, но низкой на растяжение, поэтому для его расчёта применяют теорию Мора (или теорию наибольших нормальных напряжений).
• Керамика и композиты: оценка прочности керамических деталей (подшипники, режущие пластины), работающих в условиях сжатия и изгиба.

Нефтегазовая и химическая промышленность

• Расчёт трубопроводов и сосудов давления: для материалов, работающих при высоких давлениях (например, полимерные трубы), где влияние гидростатического давления на прочность существенно.
• Порошковая металлургия: прессование порошков — процесс, где теория Мора — Кулона описывает поведение сыпучей среды под давлением.

Критика и ограничения

Теория прочности Мора не лишена недостатков:

1. Игнорирование промежуточного главного напряжения σ₂. Для многих материалов (особенно пластичных) влияние σ₂ может быть значительным, что приводит к завышенным или заниженным оценкам прочности. Существуют модификации теории (например, критерий Друкера — Прагера), учитывающие σ₂.
2. Эмпирический характер. Огибающая прочности строится по экспериментальным данным и не имеет строгого физического обоснования на микроуровне (в отличие от дислокационных теорий пластичности).
3. Неприменимость к циклическим нагрузкам. Теория Мора описывает только статическое или квазистатическое нагружение. Для расчёта усталостной прочности используются другие критерии (например, критерий Смита — Ватсона — Топпера).
4. Сложность определения параметров. Для построения точной огибающей требуется проведение дорогостоящих испытаний при трёхосном сжатии, что не всегда возможно.

Несмотря на эти ограничения, теория прочности Мора остаётся одним из наиболее практически значимых критериев прочности для хрупких, сыпучих и геоматериалов, где её точность и простота применения оправдывают принятые допущения.

Источники

1. Мор О. «О представлении напряжённого состояния с помощью кругов» (1882). Оригинальная работа на немецком языке.
2. Кулон Ш.-О. «Опыт о законах трения и сцепления в сыпучих телах» (1773). Мемуары Парижской академии наук.
3. Тимоненко С. П. «История науки о сопротивлении материалов». — М.: Гостехиздат, 1957.
4. Феодосьев В. И. «Сопротивление материалов». — М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999.
5. Цытович Н. А. «Механика грунтов». — М.: Высшая школа, 1983.
6. Карпенко Н. И. «Теория прочности бетона и железобетона». — М.: Стройиздат, 1976.