Теория сигналов

Теория сигналов — это раздел радиофизики, радиотехники, электроники, связи и кибернетики, изучающий математические модели сигналов, их свойства, преобразования, методы генерации, передачи, приёма и обработки. В узком смысле теория сигналов занимается описанием и анализом информационных процессов, в которых сигнал выступает как материальный носитель сообщения (информации).

Основные понятия

Определение сигнала

Сигнал — это физический процесс (явление), параметры которого изменяются во времени или пространстве в соответствии с передаваемым сообщением. В теории сигналов под сигналом понимают не сам физический процесс, а его математическую модель — функцию одной или нескольких переменных, описывающую изменение информативного параметра. Например, переменный электрический ток, частота которого модулируется речевым сигналом, моделируется функцией напряжения от времени.

Классификация сигналов

Сигналы классифицируют по нескольким признакам.

По природе физического носителя:

• Электрические (напряжение, ток);
• Электромагнитные (радиоволны, свет);
• Акустические (звук, ультразвук);
• Механические (вибрация, давление);
• Тепловые (температурные поля);
• Оптические (световые потоки).

По математическому описанию:

• Детерминированные — сигналы, значения которых в любой момент времени точно известны (описываются аналитическими функциями). Пример: синусоидальное напряжение, прямоугольный импульс.
• Случайные (стохастические) — сигналы, мгновенные значения которых являются случайными величинами, подчиняющимися вероятностным законам. Пример: шум, речевой сигнал, радиолокационный сигнал на фоне помех.

По форме представления:

• Аналоговые (непрерывные) — сигналы, определённые в каждый момент времени и принимающие непрерывное множество значений. Большинство физических процессов (звук, температура) являются аналоговыми.
• Дискретные — сигналы, определённые только в отдельные моменты времени (отсчёты). Значения могут быть как непрерывными, так и квантованными.
• Цифровые — частный случай дискретных сигналов, у которых и время, и амплитуда квантованы (представлены в виде чисел с конечной разрядностью).

По энергетическим характеристикам:

• Сигналы с конечной энергией (импульсные) — энергия за всё время существования ограничена.
• Сигналы с конечной средней мощностью (периодические, квазипериодические) — энергия бесконечна, но средняя мощность за период конечна.

Математический аппарат

Теория сигналов опирается на несколько фундаментальных математических дисциплин.

Спектральное представление

Центральное место занимает преобразование Фурье, позволяющее представить любой сигнал как сумму (интеграл) гармонических колебаний различных частот. Спектр сигнала — это совокупность амплитуд и начальных фаз этих гармоник. Различают:

• Амплитудный спектр — зависимость амплитуды гармоник от частоты.
• Фазовый спектр — зависимость начальной фазы от частоты.

Для периодических сигналов используется ряд Фурье (дискретный спектр), для непериодических — интеграл Фурье (сплошной спектр).

Корреляционный анализ

Автокорреляционная функция (АКФ) описывает степень связи сигнала с самим собой при сдвиге во времени. Она позволяет выявить скрытые периодичности и оценить ширину спектра сигнала. Взаимнокорреляционная функция (ВКФ) характеризует степень связи двух различных сигналов и используется, например, в радиолокации для обнаружения сигнала на фоне шума.

Преобразование Лапласа

Используется для анализа линейных цепей и систем, описываемых дифференциальными уравнениями. Позволяет перейти от временного представления сигнала к операторному (комплексная частота), что упрощает расчёт переходных и установившихся процессов.

Вейвлет-преобразование

Сравнительно новый (конец XX века) метод анализа, позволяющий одновременно получать информацию о частотном составе сигнала и о его локализации во времени. Особенно эффективен для анализа нестационарных сигналов (речь, музыка, сейсмические данные, биосигналы).

Основные характеристики сигналов

• Длительность — временной интервал, в течение которого сигнал существует (для импульсных сигналов).
• Ширина спектра — диапазон частот, в котором сосредоточена основная энергия сигнала.
• Динамический диапазон — отношение максимальной мгновенной мощности сигнала к минимальной (обычно в децибелах).
• База сигнала — произведение длительности на ширину спектра. Простые сигналы имеют базу порядка единицы, сложные (шумоподобные) — базу много больше единицы.
• Энергия и мощность — интегральные характеристики, определяющие способность сигнала совершать работу (в физическом смысле) или переносить информацию.

Преобразования сигналов

Модуляция

Процесс изменения одного или нескольких параметров несущего колебания (высокочастотного) в соответствии с передаваемым сообщением. Основные виды:

• Амплитудная модуляция (АМ) — изменение амплитуды несущей.
• Частотная модуляция (ЧМ) — изменение частоты несущей.
• Фазовая модуляция (ФМ) — изменение фазы несущей.
• Импульсная модуляция — изменение параметров импульсной последовательности (амплитуды, длительности, положения).

Демодуляция (детектирование)

Обратный процесс — выделение информационного сигнала из модулированного колебания.

Фильтрация

Выделение полезного сигнала и подавление помех (шумов). Различают фильтры нижних частот, верхних частот, полосовые, режекторные. В цифровой обработке используются КИХ-фильтры (с конечной импульсной характеристикой) и БИХ-фильтры (с бесконечной импульсной характеристикой).

Дискретизация и квантование

Преобразование аналогового сигнала в цифровой. Теорема Котельникова (теорема отсчётов) утверждает, что аналоговый сигнал с ограниченным спектром может быть точно восстановлен по своим отсчётам, взятым с частотой, не менее чем вдвое превышающей верхнюю частоту спектра.

Применение

Теория сигналов является фундаментом для многих областей науки и техники:

• Радиосвязь и телекоммуникации — проектирование систем передачи информации (радио, телевидение, сотовая связь, спутниковая связь, интернет).
• Радиолокация и радионавигация — обнаружение целей, измерение дальности и скорости, определение координат.
• Акустика — обработка звука, распознавание речи, гидроакустика.
• Измерительная техника — анализ сигналов датчиков, спектральный анализ, вибродиагностика.
• Медицина — обработка электрокардиограмм (ЭКГ), электроэнцефалограмм (ЭЭГ), томографических данных.
• Сейсмология — анализ сейсмических волн, прогнозирование землетрясений.
• Управление и автоматика — анализ и синтез систем автоматического регулирования.

История развития

Основы теории сигналов были заложены в XVIII—XIX веках работами Жана Фурье (спектральное разложение), Пьера-Симона Лапласа (операционное исчисление) и Джеймса Клерка Максвелла (электромагнитная теория). В начале XX века развитие радиосвязи (А. С. Попов, Г. Маркони) стимулировало разработку методов модуляции и фильтрации. В 1930-е годы В. А. Котельников сформулировал теорему отсчётов, ставшую основой цифровой обработки сигналов. Во второй половине XX века, с появлением компьютеров и цифровых процессоров, теория сигналов получила мощный импульс развития: были разработаны алгоритмы быстрого преобразования Фурье (Кули, Тьюки, 1965), вейвлет-анализ, адаптивная фильтрация. В России и СССР значительный вклад в теорию сигналов внесли В. А. Котельников, А. А. Харкевич, Л. А. Вайнштейн, Я. Д. Ширман, В. И. Тихонов.

Источники

• Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. — М.: Радио и связь, 1986.
• Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. — М.: Высшая школа, 2000.
• Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. — М.: Техносфера, 2006.
• Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — СПб.: Питер, 2002.
• Харкевич А. А. Спектры и анализ. — М.: Физматгиз, 1962.