Тест Левена

Тест Левена (также критерий Ливина, Levene’s test) — это статистический критерий, используемый для проверки гипотезы о равенстве дисперсий генеральных совокупностей, из которых извлечены две или более независимые выборки. Относится к классу параметрических критериев, но является менее чувствительным к отклонениям от нормальности распределения данных, чем классический тест Бартлетта. Широко применяется в дисперсионном анализе (ANOVA) и регрессионном анализе для проверки предпосылки об однородности дисперсий.

История

Критерий был предложен американским статистиком и генетиком Говардом Ливеном (Howard Levene) в 1960 году в статье «Robust tests for equality of variances» (опубликована в сборнике «Contributions to Probability and Statistics: Essays in Honor of Harold Hotelling»). Ливен работал в Колумбийском университете и занимался проблемами устойчивости статистических методов к нарушениям исходных допущений. Первоначально тест был разработан для случая двух выборок, но позже был обобщён на произвольное количество групп.

В 1974 году Мортон Браун (Morton B. Brown) и Алан Форсайт (Alan B. Forsythe) предложили модификацию теста, использующую вместо среднего арифметического медиану или усечённое среднее. Эта модификация, известная как тест Брауна-Форсайта, повысила робастность критерия при асимметричных распределениях.

Сущность критерия

Тест Левена проверяет нулевую гипотезу H₀: σ₁² = σ₂² = ... = σₖ² (дисперсии всех k групп равны) против альтернативной гипотезы H₁: хотя бы одна дисперсия отличается от остальных. Идея метода заключается в том, чтобы преобразовать исходные данные в абсолютные отклонения наблюдений от центра группировки (среднего или медианы) и затем применить к этим отклонениям однофакторный дисперсионный анализ (ANOVA).

Алгоритм расчёта

1. Выбор центральной меры. Для каждой i-й группы (i = 1, ..., k) вычисляется центр группировки. В классическом тесте Левена используется среднее арифметическое (ȳᵢ). В модификации Брауна-Форсайта — медиана (mᵢ) или усечённое среднее (10%-ное усечение).
2. Вычисление абсолютных отклонений. Для каждого j-го наблюдения в i-й группе (yᵢⱼ) рассчитывается абсолютное отклонение: zᵢⱼ = |yᵢⱼ — центрᵢ|.
3. Проведение однофакторного ANOVA. К полученным значениям zᵢⱼ применяется стандартный дисперсионный анализ. Вычисляется F-статистика:

F = (SSB / (k — 1)) / (SSW / (N — k)), где

• SSB — межгрупповая сумма квадратов отклонений zᵢⱼ от общего среднего z̄;
• SSW — внутригрупповая сумма квадратов отклонений zᵢⱼ от среднего по группе z̄ᵢ;
• N — общий объём выборки.

1. Принятие решения. Полученное значение F сравнивается с критическим значением F-распределения Фишера с (k-1) и (N-k) степенями свободы. Если F > Fкрит (или p-значение < выбранного уровня значимости α, обычно 0.05), нулевая гипотеза о равенстве дисперсий отвергается.

Модификации и разновидности

Тест Брауна-Форсайта (Brown-Forsythe test)

Наиболее распространённая модификация, при которой в качестве центральной меры используется медиана. Это делает тест более устойчивым (робастным) к выбросам и асимметрии распределений, особенно при малых объёмах выборок. Исследования показывают, что тест Брауна-Форсайта сохраняет номинальный уровень значимости даже при распределениях, сильно отличающихся от нормального.

Тест на основе усечённого среднего

Использует 10%-ное усечённое среднее (отбрасываются 10% наименьших и 10% наибольших значений). Занимает промежуточное положение между классическим тестом Левена и тестом Брауна-Форсайта по устойчивости и мощности.

Применение

Тест Левена является стандартным инструментом во многих статистических пакетах (SPSS, R, Python (scipy.stats), SAS, Stata, Jamovi) и применяется в следующих ситуациях:

Проверка предпосылок дисперсионного анализа

Однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ (ANOVA) требуют выполнения трёх основных условий:

1. Независимость наблюдений.
2. Нормальность распределения остатков (или данных в каждой группе).
3. Однородность дисперсий (гомоскедастичность). Именно для проверки этого условия используется тест Левена. Если тест показывает значимые различия дисперсий, результаты ANOVA могут быть ненадёжными (увеличивается вероятность ошибки I рода). В таком случае применяют робастные альтернативы ANOVA (например, критерий Уэлча) или преобразования данных (логарифмическое, квадратный корень).

Проверка предпосылок t-критерия Стьюдента

Для двухвыборочного t-критерия также требуется равенство дисперсий (если используется стандартная, а не модифицированная версия). Тест Левена позволяет проверить это условие, хотя для двух групп часто применяют F-тест или тест Бартлетта.

Регрессионный анализ

В линейной регрессии тест Левена может использоваться для проверки гомоскедастичности остатков, хотя для этой цели чаще применяются графические методы (диаграмма рассеяния остатков) и специализированные тесты (Бреуша-Пагана, Голдфелда-Куандта).

Достоинства и недостатки

Достоинства

• Робастность: Модификация Брауна-Форсайта (на основе медианы) значительно менее чувствительна к отклонениям от нормальности, чем тест Бартлетта или F-тест.
• Универсальность: Применим для двух и более групп.
• Простота интерпретации: Результат представлен в виде F-статистики и p-значения, понятных большинству исследователей.

Недостатки

• Чувствительность к объёму выборки: При очень больших выборках (N > 1000) тест может обнаружить статистически значимые, но практически незначимые различия дисперсий (проблема множественных сравнений и эффект размера эффекта). В таких случаях рекомендуется оценивать практическую значимость, например, с помощью отношения дисперсий (Fmax).
• Меньшая мощность по сравнению с тестом Бартлетта: Если данные строго нормальны, тест Бартлетта обладает большей статистической мощностью (способностью обнаружить истинные различия). Однако на практике нормальность часто нарушается, поэтому тест Левена предпочтительнее.
• Зависимость от выбора центральной меры: Разные модификации (среднее, медиана, усечённое среднее) могут давать разные результаты на одних и тех же данных.

Пример использования

Допустим, исследователь изучает влияние трёх различных методов обучения на успеваемость студентов. Выборки из трёх групп (n=30 в каждой) имеют разброс оценок. Перед проведением ANOVA необходимо проверить, одинаковы ли дисперсии оценок в этих группах.

1. Формулировка гипотез:

• H₀: Дисперсии оценок в трёх группах равны.
• H₁: Хотя бы одна дисперсия отличается.

1. Расчёт: С помощью статистического пакета (например, SPSS) выполняется тест Левена (обычно по умолчанию используется модификация Брауна-Форсайта).
2. Результат: Получено значение F = 2.45, p = 0.09.
3. Интерпретация: Так как p-значение (0.09) больше принятого уровня значимости α = 0.05, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Дисперсии считаются однородными, и можно применять стандартный однофакторный ANOVA.

Связь с другими критериями

• Тест Бартлетта: Более мощный, но менее робастный к ненормальности. Рекомендуется только при уверенности в нормальности распределения данных.
• Критерий Флигнера-Килина (Fligner-Killeen test): Непараметрический аналог теста Левена, основанный на рангах абсолютных отклонений. Считается ещё более робастным, но менее мощным при нормальном распределении.
• F-тест для двух дисперсий: Используется только для сравнения двух групп и крайне чувствителен к ненормальности.

Источники

1. Levene, H. (1960). Robust tests for equality of variances. In I. Olkin et al. (Eds.), Contributions to Probability and Statistics: Essays in Honor of Harold Hotelling (pp. 278–292). Stanford University Press.
2. Brown, M. B., & Forsythe, A. B. (1974). Robust tests for the equality of variances. Journal of the American Statistical Association, 69(346), 364–367.
3. Conover, W. J., Johnson, M. E., & Johnson, M. M. (1981). A comparative study of tests for homogeneity of variances, with applications to the outer continental shelf bidding data. Technometrics, 23(4), 351–361.
4. Харкевич, А. А. (2013). Прикладная статистика: учебное пособие. М.: Издательство МГУ.