Топологическая связность

Топологическая связность — это фундаментальное свойство топологического пространства, которое формализует интуитивное понятие «целостности» или «неразрывности» множества. Пространство считается связным, если его невозможно представить в виде объединения двух непересекающихся непустых открытых подмножеств. Понятие связности является одним из центральных в общей топологии и имеет многочисленные приложения в математическом анализе, теории функций, теории графов и дифференциальной геометрии.

Определение и основные понятия

Формальное определение

Топологическое пространство \(X\) называется связным, если не существует двух таких непустых открытых множеств \(U\) и \(V\), что \(X = U \cup V\) и \(U \cap V = \varnothing\). Если такое разбиение возможно, то пространство называется несвязным. Непустое открыто-замкнутое множество в несвязном пространстве называется компонентой связности.

Это определение эквивалентно следующему: пространство связно тогда и только тогда, когда единственными его открыто-замкнутыми подмножествами (то есть множествами, одновременно открытыми и замкнутыми) являются пустое множество и всё пространство. Иными словами, в связном пространстве нет нетривиальных разбиений на открытые части.

Компоненты связности

Для произвольного топологического пространства можно ввести отношение эквивалентности: две точки \(x\) и \(y\) эквивалентны, если существует связное подмножество, содержащее обе точки. Классы эквивалентности по этому отношению называются компонентами связности пространства. Каждая компонента является максимальным связным подмножеством — она не содержится ни в каком другом связном множестве. Компоненты связности всегда замкнуты, но не обязательно открыты (например, в канторовом множестве). В локально связных пространствах компоненты всегда открыты.

Свойства связных пространств

Сохранение при непрерывных отображениях

Одним из важнейших свойств является то, что непрерывный образ связного пространства связен. Если \(f: X \to Y\) — непрерывное отображение, а \(X\) связно, то \(f(X)\) как подпространство \(Y\) также связно. Это свойство является прямым следствием определения и лежит в основе многих теорем анализа, например теоремы о промежуточном значении для непрерывных функций на отрезке.

Связность и замкнутость

Замыкание связного множества всегда связно. Если множество \(A\) связно, и \(A \subset B \subset \operatorname{cl}(A)\), то \(B\) также связно. Это свойство позволяет «улучшать» связные множества до связных замкнутых.

Декартово произведение

Произведение связных топологических пространств (с тихоновской топологией) связно. Более того, если все множители связны, то и произведение связно. Обратное также верно: если произведение связно, то каждый множитель связен. Это устанавливается с помощью проекций как непрерывных отображений.

Виды связности

Путевая связность

Пространство называется путево связным (или линейно связным), если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой. Формально: для любых \(x, y \in X\) существует непрерывное отображение \(\gamma: [0,1] \to X\) такое, что \(\gamma(0)=x\) и \(\gamma(1)=y\). Всякое путево связное пространство связно, но обратное неверно. Классический контрпример — синусоида тополога: замыкание графика функции \(y = \sin(1/x)\) при \(x>0\) вместе с отрезком на оси ординат. Это пространство связно, но не путево связно.

Локальная связность

Пространство называется локально связным, если у каждой точки существует база окрестностей, состоящая из связных множеств. Локальная связность не следует из связности (примером служит канторово множество, не являющееся локально связным). Локально связные пространства особенно важны в теории поверхностей и многообразий.

Компактная порождённая связность

В теории гомотопий и топологической K-теории используют понятие стягиваемости (или сжимаемости) пространства как сильнейшей формы связности. Пространство называется стягиваемым, если оно гомотопически эквивалентно точке. Стягиваемое пространство всегда путево связно.

Примеры

Связные пространства

• Отрезок \([0,1]\) со стандартной топологией связен. Это устанавливается в курсе математического анализа и является основой для теоремы Больцано — Коши.
• Всякое выпуклое подмножество евклидова пространства связно и путево связно. В частности, шар, симплекс, куб.
• Окружность \(S^1\) связна. Однако она не является стягиваемой, что отражает наличие «дырки» в топологическом смысле.

Несвязные пространства

• Множество рациональных чисел \(\mathbb{Q}\) со стандартной топологией несвязно: его можно разбить на открытые лучи \((\sqrt{2}, \infty)\) и \((-\infty, \sqrt{2})\).
• Дискретное пространство с более чем одной точкой всегда вполне несвязно: каждая точка является открыто-замкнутым множеством.
• Сфера \(S^n\) при \(n \ge 1\) связна, а сфера \(S^0\) (две точки) несвязна.

Применение в математике

Теорема о промежуточном значении

Один из важнейших результатов анализа — теорема Больцано — Коши: всякая непрерывная функция \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) принимает все значения между \(f(a)\) и \(f(b)\). Её доказательство существенно опирается на связность отрезка.

Связность в комплексном анализе

В комплексном анализе область — это открытое связное подмножество комплексной плоскости. Теорема Лиувилля и принцип максимума модуля справедливы только на областях. Связность также необходима для корректного определения аналитического продолжения.

Топологические группы

Связные топологические группы (например, группа Ли) имеют особую структуру: их компонента связности является нормальной подгруппой. Факторгруппа дискретна и имеет структуру группы компонент связности.

Tеория графов

В теории графов топологическая связность графа определяется как минимальное число вершин, удаление которых делает граф несвязным. Это понятие является одним из критериев надёжности сетей.

Критика и ограничения

Понятие связности вводится чисто топологически и не всегда «интуитивно» для неспециалиста. Например, восемь изогнутая цифра ∞ в стандартной топологии плоскости является связной (и путево связной), хотя воспринимается как два отдельных «кольца», соприкасающихся в точке. В четырёхмерном пространстве два поперечных «кольца» могут быть объединены движением, не требующим разрыва, что нарушает двумерную интуицию. К тому же, для хаусдорфовых пространств, в отличие от связности вообще, путевая связность может оказаться слишком слабой (синусоида тополога) или, напротив, слишком сильной (пространства, не имеющие непрерывных путей). Поэтому в современной топологии для многих задач используют понятие гомотопической связности, в частности, \(n\)-связности.

Интересные факты

• Теорема Александера — Зейферта. Компоненты дополнения жордановой кривой на плоскости (внутренняя и внешняя) являются связными множествами, что составляет содержание теоремы Жордана о кривой.
• Континуум. Любое связное компактное хаусдорфово пространство называется континуумом. Теория континуумов (гипотеза континуума, канторовы связности) — отдельный раздел топологии.
• Когомологическая связность. В алгебраической топологии понятие связности обобщается до гомотопических и гомологических условий, которые измеряют «число частей» пространства.

Источники

1. Александров П. С., Урысон П. С. «Введение в теорию размерности» / Рукопись, 1932.
2. Бурбаки Н. «Общая топология. Основные структуры» / Пер. с франц. — М.: Мир, 1968.
3. Энгелькинг Р. «Общая топология» / Пер. с англ. — М.: Мир, 1986.
4. Келли Дж. Л. «Общая топология» / Пер. с англ. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981.
5. Куратовский К. «Топология. Том 1» / Пер. с англ. — М.: Мир, 1966.