Уравнение Вейерштрасса

Уравнение Вейерштрасса — это общее название для нескольких математических соотношений, связанных с именем немецкого математика Карла Вейерштрасса. В наиболее распространённом значении под уравнением Вейерштрасса понимают дифференциальное уравнение, описывающее эллиптические функции, а также параметрическое представление эллиптических кривых (форма Вейерштрасса). Кроме того, в вариационном исчислении существует необходимое условие Вейерштрасса для экстремума функционала. Данная статья рассматривает все три ключевые интерпретации.

Эллиптические функции и форма Вейерштрасса

Наиболее известное уравнение Вейерштрасса — это дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет ℘-функция Вейерштрасса (читается «пэ-функция»). Эта функция является эллиптической, то есть двоякопериодической мероморфной функцией комплексного переменного. Карл Вейерштрасс ввёл её в середине XIX века как стандартный инструмент для построения теории эллиптических функций, заменив более ранние подходы, основанные на эллиптических интегралах.

Определение и дифференциальное уравнение

℘-функция Вейерштрасса определяется как сумма ряда:

\[ \wp(z; \omega_1, \omega_2) = \frac{1}{z^2} + \sum_{(m,n) \neq (0,0)} \left( \frac{1}{(z - m\omega_1 - n\omega_2)^2} - \frac{1}{(m\omega_1 + n\omega_2)^2} \right), \]

где \(\omega_1\) и \(\omega_2\) — два комплексных числа, отношение которых не является вещественным (они задают решётку периодов). Эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка:

\[ \left( \frac{d\wp}{dz} \right)^2 = 4\wp^3 - g_2 \wp - g_3, \]

где \(g_2\) и \(g_3\) — инварианты Вейерштрасса, зависящие от периодов решётки. Именно это соотношение и называют уравнением Вейерштрасса в теории эллиптических функций.

Связь с эллиптическими кривыми

Уравнение Вейерштрасса в форме

\[ y^2 = 4x^3 - g_2 x - g_3 \]

задаёт эллиптическую кривую в алгебраической геометрии. Здесь \(x = \wp(z)\), \(y = \wp'(z)\). Каждой эллиптической функции соответствует такая кривая, и наоборот, любая эллиптическая кривая над полем комплексных чисел может быть параметризована ℘-функцией. Это уравнение является канонической формой для эллиптических кривых, известной как форма Вейерштрасса.

Приведение к форме Вейерштрасса

Любая кубическая кривая вида

\[ y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6 \]

(общее уравнение Вейерштрасса) путём замены переменных (завершение квадрата по \(y\) и куба по \(x\)) может быть приведена к упрощённому виду:

\[ y^2 = x^3 + ax + b, \]

где \(a\) и \(b\) — константы. Дискриминант такой кривой \(\Delta = -16(4a^3 + 27b^2)\) определяет, является ли кривая неособой (эллиптической). Условие \(\Delta \neq 0\) гарантирует, что кривая не имеет самопересечений или каспов.

Инварианты и j-инвариант

Инварианты \(g_2\) и \(g_3\) связаны с коэффициентами \(a\) и \(b\) соотношениями:

\[ g_2 = -4a, \quad g_3 = -4b. \]

Важнейшей характеристикой эллиптической кривой является j-инвариант:

\[ j = 1728 \frac{g_2^3}{g_2^3 - 27g_3^2}. \]

Две эллиптические кривые изоморфны над полем комплексных чисел тогда и только тогда, когда их j-инварианты совпадают. Таким образом, уравнение Вейерштрасса задаёт целое семейство кривых, классифицируемых этим инвариантом.

Уравнение Вейерштрасса в вариационном исчислении

В вариационном исчислении условие Вейерштрасса (или необходимое условие Вейерштрасса для сильного экстремума) является критерием, которому должна удовлетворять функция, реализующая экстремум функционала. Оно формулируется с помощью функции Вейерштрасса (или E-функции).

Формулировка

Рассмотрим функционал вида

\[ J[y] = \int_a^b F(x, y, y') dx, \]

где \(F\) — дважды непрерывно дифференцируемая функция. Пусть \(y(x)\) — экстремаль (решение уравнения Эйлера — Лагранжа). Для того чтобы \(y(x)\) доставляла сильный минимум функционалу \(J\), необходимо, чтобы для всех \(x \in [a, b]\) и для всех допустимых значений \(y'\) выполнялось неравенство:

\[ E(x, y, y', p) \geq 0, \]

где \(p = y'(x)\) — наклон экстремали, а E-функция Вейерштрасса определяется как:

\[ E(x, y, y', p) = F(x, y, y') - F(x, y, p) - (y' - p) F_{y'}(x, y, p). \]

Для сильного максимума требуется \(E \leq 0\). Это условие является необходимым, но не достаточным; оно дополняется условиями Лежандра и Якоби.

Геометрический смысл

Условие Вейерштрасса означает, что функция \(F\) как функция \(y'\) должна лежать не ниже своей касательной, проведённой в точке \(p\) (для минимума). Иными словами, экстремаль должна быть «опорной» для всех возможных наклонов поля экстремалей. Это условие обобщает условие Лежандра (\(F_{y'y'} \geq 0\)) на случай сильных вариаций, когда отклонение производной может быть большим.

Применения

Криптография и теория чисел

Эллиптические кривые, задаваемые уравнением Вейерштрасса, лежат в основе современной криптографии на эллиптических кривых (ECC). Они используются для создания асимметричных шифров, цифровых подписей (например, ECDSA) и протоколов обмена ключами. Преимущество ECC перед RSA — меньшая длина ключа при сопоставимой стойкости. В криптографии обычно работают с эллиптическими кривыми над конечными полями \( \mathbb{F}_p \) или \( \mathbb{F}_{2^m} \), где уравнение Вейерштрасса принимает вид:

\[ y^2 = x^3 + ax + b \pmod{p}. \]

Физика

℘-функция Вейерштрасса и её дифференциальное уравнение встречаются в теории нелинейных волн (например, в решении уравнения КдФ — Кортевега — де Фриза), в механике (движение маятника, задача о вращении твёрдого тела) и в теории струн.

Алгебраическая геометрия

Форма Вейерштрасса является стандартным инструментом для изучения эллиптических кривых, их ранга, кручения и модулярных свойств. Гипотеза Таниямы — Шимуры, доказанная Эндрю Уайлсом в процессе доказательства Великой теоремы Ферма, устанавливает связь между эллиптическими кривыми над полем рациональных чисел и модулярными формами.

Интересные факты

• Карл Вейерштрасс разработал свою теорию эллиптических функций, читая лекции в Берлинском университете в 1860-х годах. Его подход был настолько систематичным, что вытеснил более раннюю теорию Абеля и Якоби.
• ℘-функция Вейерштрасса не является целой: она имеет полюсы второго порядка во всех точках решётки периодов.
• Уравнение Вейерштрасса в вариационном исчислении часто называют «условием Вейерштрасса — Эрдмана» в случае, когда экстремаль имеет изломы.

Источники

• Вейерштрасс К. «К теории эллиптических функций» (лекции, 1863–1885).
• Ленг С. «Эллиптические функции» (Springer, 1987).
• Гельфанд И. М., Фомин С. В. «Вариационное исчисление» (М.: Физматлит, 1961).
• Сильверман Дж. «Арифметика эллиптических кривых» (Springer, 2009).
• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. «Теория чисел» (М.: Наука, 1985).