Вектор

Вектор — это математический объект, который характеризуется числовым значением (модулем, или длиной) и направлением. В более широком смысле, вектор — это элемент векторного пространства, для которого определены операции сложения и умножения на число. Понятие вектора является фундаментальным для многих разделов математики, физики и инженерных дисциплин, позволяя описывать величины, имеющие не только величину, но и направление (например, скорость, силу, ускорение).

История понятия

Идея использования направленных отрезков для представления величин, имеющих направление, восходит к античности. Однако формальное математическое понятие вектора сложилось относительно поздно.

• XIX век: Термин «вектор» (от лат. vector — «несущий», «везущий») был введён в математику ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1840-х годах в связи с созданием теории кватернионов. Гамильтон использовал термин «вектор» для обозначения мнимой части кватерниона, которая имела три компоненты и интерпретировалась как направленный отрезок в трёхмерном пространстве.
• Конец XIX — начало XX века: Значительный вклад в развитие векторного исчисления внесли американский физик Джозайя Уиллард Гиббс и английский физик Оливер Хевисайд, которые независимо друг от друга разработали современный векторный анализ, отделив его от теории кватернионов. Они ввели обозначения для скалярного и векторного произведений, а также для оператора набла (∇).
• XX век: Понятие вектора было обобщено до абстрактного понятия векторного пространства, что позволило применять линейную алгебру к самым разным математическим объектам (функциям, многочленам, матрицам). Это обобщение стало основой для функционального анализа и квантовой механики.

Определения и геометрическая интерпретация

Геометрический вектор

В элементарной геометрии и физике под вектором чаще всего понимают направленный отрезок — отрезок прямой, у которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом. Обозначается такой вектор либо двумя точками (например, \(\overrightarrow{AB}\), где A — начало, B — конец), либо одной строчной буквой с чёрточкой или стрелкой (\(\vec{a}\), \(\mathbf{a}\)).

• Модуль (длина) вектора — это длина соответствующего отрезка. Обозначается \(|\vec{a}|\) или \(|\overrightarrow{AB}|\).
• Направление вектора задаётся направлением от начала к концу.
• Нулевой вектор — вектор, начало и конец которого совпадают. Его длина равна нулю, а направление не определено.
• Коллинеарные векторы — векторы, лежащие на одной или параллельных прямых. Они могут быть сонаправленными или противоположно направленными.
• Компланарные векторы — векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях.
• Равные векторы — векторы, имеющие одинаковые длину и направление (сонаправленные и равные по модулю).

Вектор как элемент векторного пространства

В современной математике вектор определяется аксиоматически как элемент векторного пространства (линейного пространства). Векторное пространство — это множество объектов (векторов), для которых определены две операции:

1. Сложение векторов: Любым двум векторам \(u\) и \(v\) ставится в соответствие третий вектор \(u+v\), называемый их суммой.
2. Умножение вектора на число (скаляр): Любому вектору \(v\) и любому числу \(\lambda\) ставится в соответствие вектор \(\lambda v\).

Эти операции должны удовлетворять определённым аксиомам (ассоциативность, коммутативность сложения, существование нулевого вектора, дистрибутивность и др.).

В этом контексте вектор может быть не только направленным отрезком, но и, например, функцией, многочленом, последовательностью чисел.

Операции над векторами

Сложение векторов

Сложение двух векторов можно выполнить двумя основными способами:

• Правило треугольника: Чтобы сложить векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), нужно совместить начало вектора \(\vec{b}\) с концом вектора \(\vec{a}\). Вектор суммы \(\vec{a}+\vec{b}\) — это вектор, начало которого совпадает с началом \(\vec{a}\), а конец — с концом \(\vec{b}\).
• Правило параллелограмма: Чтобы сложить векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), нужно совместить их начала. Затем достроить фигуру до параллелограмма. Вектор суммы — это диагональ параллелограмма, исходящая из общего начала.

Вычитание векторов

Разность векторов \(\vec{a} - \vec{b}\) определяется как сумма вектора \(\vec{a}\) и вектора, противоположного \(\vec{b}\) (\(-\vec{b}\)). Геометрически, если совместить начала векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), то вектор их разности будет направлен от конца \(\vec{b}\) к концу \(\vec{a}\).

Умножение вектора на число

При умножении вектора \(\vec{a}\) на число \(\lambda\) получается вектор \(\lambda\vec{a}\):

• Его длина равна \(|\lambda| \cdot |\vec{a}|\).
• Его направление совпадает с направлением \(\vec{a}\), если \(\lambda > 0\), и противоположно, если \(\lambda < 0\). При \(\lambda = 0\) получается нулевой вектор.

Скалярное произведение

Скалярное произведение двух ненулевых векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) — это число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \] где \(\theta\) — угол между векторами.

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение используется для нахождения угла между векторами, проекции одного вектора на другой, а также для вычисления работы в физике.

Векторное произведение

Векторное произведение определяется только для трёхмерного пространства. Результатом векторного произведения двух ненулевых векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) является третий вектор \(\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}\), который:

• Перпендикулярен обоим исходным векторам.
• Его длина равна площади параллелограмма, построенного на \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \(|\vec{c}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta\).
• Его направление определяется правилом правой руки (или правилом буравчика).

Векторное произведение используется для вычисления момента силы, площади поверхности и в электродинамике.

Смешанное произведение

Смешанное произведение трёх векторов — это число, равное скалярному произведению первого вектора на векторное произведение второго и третьего: \((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}\). По модулю оно равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Представление векторов в координатах

В декартовой системе координат вектор можно задать координатами его конца, если начало помещено в начало координат (радиус-вектор). В трёхмерном пространстве вектор \(\vec{a}\) записывается как \(\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)\) или \(\vec{a} = a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}\), где \(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) — единичные векторы (орты), направленные вдоль осей \(X, Y, Z\) соответственно.

В координатной форме операции над векторами выполняются покомпонентно:

• Сложение: \(\vec{a} + \vec{b} = (a_x+b_x, a_y+b_y, a_z+b_z)\)
• Умножение на число: \(\lambda \vec{a} = (\lambda a_x, \lambda a_y, \lambda a_z)\)
• Скалярное произведение: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\)
• Векторное произведение: \(\vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)\)

Применение векторов

В физике

Векторы являются основным инструментом для описания физических величин:

• Механика: Скорость, ускорение, сила, импульс, момент импульса — все это векторные величины. Законы Ньютона и уравнения движения записываются в векторной форме.
• Электродинамика: Напряжённость электрического поля, магнитная индукция, плотность тока — векторные поля. Уравнения Максвелла описывают их взаимосвязь.
• Гидро- и аэродинамика: Скорость потока жидкости или газа является векторным полем.

В математике

• Аналитическая геометрия: Векторы используются для описания прямых, плоскостей, кривых и поверхностей в пространстве.
• Линейная алгебра: Теория векторных пространств является фундаментом для изучения матриц, линейных преобразований и систем линейных уравнений.
• Функциональный анализ: Изучает бесконечномерные векторные пространства (например, гильбертовы пространства), что критически важно для квантовой механики и теории сигналов.

В компьютерных науках

• Компьютерная графика: Векторы используются для задания координат вершин, направления освещения, нормалей к поверхностям, а также для реализации трансформаций (поворот, масштабирование, перенос) с помощью матриц.
• Машинное обучение: Данные часто представляются в виде векторов признаков. Операции над векторами лежат в основе многих алгоритмов, включая нейронные сети.
• Физические симуляторы: Векторная математика используется для расчёта движения объектов, столкновений и сил в играх и тренажёрах.

Виды векторов

Помимо геометрических и абстрактных, выделяют несколько специальных типов векторов:

• Свободный вектор: Вектор, для которого не имеет значения точка приложения; важны только его длина и направление. Два параллельных, сонаправленных и равных по длине отрезка представляют один и тот же свободный вектор.
• Скользящий вектор: Вектор, который можно переносить вдоль линии его действия. Примером является сила, приложенная к абсолютно твёрдому телу.
• Связанный (фиксированный) вектор: Вектор, начало которого строго зафиксировано (например, радиус-вектор точки).
• Единичный вектор (орт): Вектор, длина которого равна единице. Используется для задания направления.
• Коллинеарные и компланарные векторы: (см. выше).

Интересные факты

• В русской математической школе вектор традиционно обозначается полужирным шрифтом (\(\mathbf{a}\)) или чёрточкой над буквой (\(\bar{a}\)), в то время как в западной литературе чаще используется стрелка (\(\vec{a}\)).
• Оператор набла (∇), введённый Гамильтоном, является векторным дифференциальным оператором. Его применение к скалярному полю даёт градиент (вектор), а к векторному полю — дивергенцию (скаляр) и ротор (вектор).
• Понятие «вектор состояния» в квантовой механике (волновая функция) является элементом бесконечномерного гильбертова пространства и не имеет простой геометрической интерпретации в виде стрелки.

Источники

1. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1968.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Физматлит, 2005.
3. Виноградов И. М. (ред.) Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.
4. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. — М.: Физматлит, 2000.
5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1. — М.: Физматлит, 2001.