Владимир Арнольд

Владимир Игоревич Арнольд (12 июня 1937, Одесса — 3 июня 2010, Париж) — советский и российский математик, автор фундаментальных работ в области теории динамических систем, дифференциальных уравнений, топологии, теории катастроф, симплектической геометрии и математической физики. Академик АН СССР (1990, член-корреспондент с 1984), РАН (1991), иностранный член Французской академии наук (1995), Национальной академии наук США (1983) и Лондонского королевского общества (1988). Лауреат Ленинской премии (1965), премии Крафорда (1982, совместно с Л. Ниренбергом), премии Вольфа (2001) и других международных наград. Один из наиболее цитируемых математиков второй половины XX века.

Биография

Ранние годы и образование

Владимир Арнольд родился в Одессе в семье математика и педагога Игоря Владимировича Арнольда (1900—1948) и Нины Александровны Арнольд (урождённой Исакович, 1909—1986), искусствоведа и сотрудницы Пушкинского музея. В 1940 году семья переехала в Москву. В 1954 году, после окончания школы с золотой медалью, поступил на механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова (МГУ).

Студентом третьего курса Арнольд начал посещать семинар Андрея Николаевича Колмогорова, который стал его научным руководителем. Под влиянием Колмогорова Арнольд занялся проблемой устойчивости Солнечной системы, что привело к созданию теории КАМ (Колмогорова — Арнольда — Мозера). В 1959 году, ещё будучи аспирантом, Арнольд решил тринадцатую проблему Гильберта, доказав, что любая непрерывная функция нескольких переменных может быть представлена суперпозицией непрерывных функций двух переменных.

Научная карьера

С 1961 года Арнольд работал в Математическом институте имени В. А. Стеклова АН СССР (МИАН), а с 1965 года — профессором кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ. В 1986 году он возглавил отдел дифференциальных уравнений МИАН.

В 1990-е годы, после распада СССР, Арнольд активно сотрудничал с зарубежными университетами, читал лекции в Парижском университете (Дофин), Университете Пьера и Марии Кюри, а также в Математическом институте в Оксфорде. Несмотря на длительное проживание во Франции (с 1993 года), он сохранял российское гражданство и регулярно приезжал в Москву для работы и чтения лекций.

Скончался 3 июня 2010 года в Париже от острого панкреатита. Похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве.

Основные научные достижения

Теория КАМ (Колмогорова — Арнольда — Мозера)

В 1954 году А. Н. Колмогоров сформулировал теорему о сохранении условно-периодических движений при малых возмущениях гамильтоновых систем. Арнольд в 1963 году дал строгое доказательство этой теоремы для случая аналитических гамильтонианов, а также распространил её на системы с двумя и более степенями свободы. Позднее Юрген Мозер (США) обобщил результат на системы с меньшей гладкостью. Совокупность этих результатов получила название теории КАМ — одного из важнейших достижений математики XX века, объясняющего, почему при малых возмущениях большинство траекторий динамических систем остаются устойчивыми. Теория КАМ нашла применение в небесной механике (устойчивость Солнечной системы), физике плазмы и статистической механике.

Тринадцатая проблема Гильберта

В 1900 году Давид Гильберт включил в свой список 23 нерешённых проблем математики тринадцатую: «Доказать, что не существует непрерывной функции трёх переменных, представимой суперпозицией непрерывных функций двух переменных». В 1957 году, в возрасте 19 лет, Арнольд доказал, что любая непрерывная функция трёх переменных может быть представлена суперпозицией непрерывных функций двух переменных. Это опровергло гипотезу Гильберта и стало сенсацией в математическом мире. Позднее Колмогоров обобщил результат, показав, что любая непрерывная функция n переменных представима суперпозицией непрерывных функций одной переменной и сложения.

Теория катастроф

В 1960-е годы Арнольд, совместно с Рене Томом (Франция), развил математический аппарат теории катастроф — раздела теории бифуркаций, изучающего скачкообразные изменения состояний систем при плавном изменении параметров. Арнольд классифицировал элементарные катастрофы (складка, сборка, ласточкин хвост, бабочка и др.) и показал их связь с теорией особенностей гладких отображений. Его книга «Теория катастроф» (1975) стала классической и переведена на многие языки.

Симплектическая геометрия и топология

Арнольд внёс фундаментальный вклад в симплектическую геометрию — раздел математики, изучающий геометрические структуры, возникающие в классической механике. Он сформулировал гипотезу Арнольда о числе неподвижных точек симплектоморфизмов (доказана в 1990-е годы), ввёл понятие лагранжевых подмногообразий и разработал теорию симплектических инвариантов. Совместно с А. Б. Гивенталем и А. Н. Варченко он создал теорию особенностей интегрируемых систем.

Дифференциальные уравнения и динамические системы

Арнольд является автором фундаментальных работ по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории устойчивости, эргодической теории и гидродинамике. Он предложил новые методы исследования поведения решений уравнений Навье — Стокса, ввёл понятие «арнольдовой диффузии» — явления медленного дрейфа траекторий в многомерных гамильтоновых системах, играющего ключевую роль в механике и физике ускорителей.

Педагогическая деятельность

Арнольд был блестящим лектором и педагогом. Он создал собственную научную школу, воспитавшую десятки докторов наук. Среди его учеников — академики РАН Ю. С. Ильяшенко, А. Б. Гивенталь, М. Л. Громов, В. А. Васильев, А. Г. Хованский.

Арнольд написал ряд учебников и задачников, ставших классическими:

• «Обыкновенные дифференциальные уравнения» (1971) — учебник, отличающийся геометрическим подходом и обилием содержательных примеров.
• «Математические методы классической механики» (1974) — книга, переведённая на многие языки и ставшая стандартным учебником для физиков и математиков.
• «Теория катастроф» (1975) — популярное введение в теорию бифуркаций.
• «Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений» (1978) — монография, посвящённая качественной теории.
• «Задачи для детей от 5 до 15 лет» (2004) — сборник нестандартных задач, развивающих математическое мышление.

Общественная и научно-организационная деятельность

Арнольд активно выступал против бюрократизации науки, формализма в образовании и псевдонаучных теорий. Он был одним из основателей Независимого московского университета (1991) — негосударственного учебного заведения, ставящего целью подготовку математиков высокого уровня. В 1990-е годы он критиковал реформы Российской академии наук, направленные на её коммерциализацию.

Арнольд был главным редактором журнала «Успехи математических наук» (1990—2010), членом редколлегий многих международных журналов. Он инициировал создание и был первым председателем Московского математического общества (1990—1996).

Критика и полемика

Арнольд известен резкими высказываниями в адрес коллег, которых он считал недостаточно строгими или склонными к формализму. Он критиковал «бурбакизацию» математики — чрезмерное увлечение аксиоматическим методом в ущерб содержательным задачам и геометрической интуиции. В книге «Обыкновенные дифференциальные уравнения» он полемизировал с подходом, при котором доказательство существования решения сводится к применению теорем функционального анализа, а не к построению явных конструкций.

В то же время, некоторые математики (например, Жан Дьёдонне) упрекали Арнольда в излишней приверженности «русскому стилю» — акценте на конкретные задачи и геометрические образы в ущерб абстрактной теории.

Память

• Именем Арнольда названы кратер на Луне (Арнольд, диаметр 94 км), астероид (10031) Владарнольд, открытый в 1981 году.
• В 2011 году учреждена премия имени В. И. Арнольда для молодых математиков, присуждаемая Российской академией наук.
• В 2017 году в Москве прошла международная конференция «Арнольд-100», посвящённая 80-летию со дня рождения учёного.
• С 2010 года в МГУ проводится ежегодная «Школа-конференция имени В. И. Арнольда» по теории динамических систем.

Источники

• Арнольд В. И. «Воспоминания о будущем» (автобиография). — М.: МЦНМО, 2002.
• Арнольд В. И. «Истории давние и недавние». — М.: ФАЗИС, 2002.
• Ильяшенко Ю. С. «Владимир Игоревич Арнольд (к 70-летию со дня рождения)» // Успехи математических наук. — 2007. — Т. 62, № 5.
• Громов М. Л. «Владимир Арнольд — великий математик и великий человек» // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. — 2011. — Т. 274.
• «Владимир Игоревич Арнольд (некролог)» // Успехи математических наук. — 2010. — Т. 65, № 4.
• Российская академия наук. «Владимир Игоревич Арнольд. Биографический очерк». — М.: Наука, 2012.