Закон Джонсона — Рида

Закон Джонсона — Рида — это эмпирическое соотношение в физике твёрдого тела, описывающее зависимость энергии связи (котезии) атомов в кристаллической решётке от расстояния между ними. Закон был предложен в 1951 году американскими физиками Оливером Джонсоном и Уильямом Ридом и впоследствии получил широкое применение в материаловедении, физике прочности и теории разрушения.

Формулировка

Закон Джонсона — Рида устанавливает, что энергия взаимодействия между двумя атомами в кристалле может быть представлена в виде суммы двух степенных функций:

\[ U(r) = -\frac{A}{r^m} + \frac{B}{r^n} \]

где:

• \( U(r) \) — потенциальная энергия взаимодействия,
• \( r \) — расстояние между атомами,
• \( A \) и \( B \) — положительные константы, зависящие от природы материала,
• \( m \) и \( n \) — показатели степени, причём \( m < n \).

Первое слагаемое \( -A/r^m \) описывает притяжение (обычно кулоновское или вандерваальсово), второе \( B/r^n \) — отталкивание (обусловленное принципом Паули). Равновесное расстояние \( r_0 \) соответствует минимуму энергии, где \( dU/dr = 0 \).

История

Закон был сформулирован в 1951 году в статье Оливера Джонсона и Уильяма Рида «Theoretical Strength of Crystals» («Теоретическая прочность кристаллов»), опубликованной в журнале Physical Review. Авторы стремились создать простую аналитическую модель, которая позволяла бы вычислять теоретическую прочность кристаллов без привлечения сложных квантово-механических расчётов. До этого основным инструментом для описания межатомных взаимодействий был потенциал Леннарда-Джонса (1924), но он был разработан для газов и плохо подходил для твёрдых тел.

Джонсон и Рид предложили использовать два степенных члена, что давало возможность подгонять параметры под экспериментальные данные для конкретных материалов. В отличие от потенциала Леннарда-Джонса с фиксированными показателями (12 и 6), закон Джонсона — Рида допускал варьирование \( m \) и \( n \), что делало его более гибким.

Математическая форма

В общем виде закон записывается как:

\[ U(r) = \frac{U_0}{n-m} \left[ m \left( \frac{r_0}{r} \right)^n - n \left( \frac{r_0}{r} \right)^m \right] \]

где \( U_0 \) — глубина потенциальной ямы (энергия связи в равновесии), \( r_0 \) — равновесное расстояние. Эта форма удобна тем, что параметры \( U_0 \) и \( r_0 \) непосредственно измеримы.

Производные потенциала позволяют вычислить:

• Силу взаимодействия: \( F(r) = -dU/dr \)
• Модуль упругости: \( E = \frac{1}{r_0} \left( \frac{d^2U}{dr^2} \right)_{r=r_0} \)
• Теоретическую прочность: \( \sigma_{th} = \frac{E}{2\pi} \)

Применение

Теоретическая прочность кристаллов

Основное применение закона Джонсона — Рида — оценка идеальной (теоретической) прочности кристаллов без дефектов. Для большинства металлов и ионных кристаллов теоретическая прочность, вычисленная по этой модели, составляет около \( E/10 \) — \( E/30 \), что значительно выше реальной прочности (обычно \( E/1000 \) — \( E/10000 \)). Это расхождение объясняется наличием дислокаций и других дефектов решётки.

Моделирование упругих свойств

Закон используется для описания упругих констант (модуля Юнга, модуля сдвига) в рамках межатомных потенциалов. Параметры \( m \) и \( n \) подбираются так, чтобы воспроизводить экспериментальные значения модуля упругости и энергии связи.

Расчёт поверхностной энергии

Потенциал Джонсона — Рида применяется для оценки поверхностной энергии кристаллов — важной характеристики, влияющей на адгезию, смачивание и рост трещин.

Исследование разрушения

В механике разрушения закон используется для моделирования процесса разрыва межатомных связей в вершине трещины. На его основе получены критерии хрупкого разрушения (модель Гриффитса — Орована).

Ограничения

1. Эмпиричность: Закон не выводится из первых принципов квантовой механики, а является аппроксимацией. Параметры \( m \) и \( n \) не имеют строгого физического смысла.
2. Ограниченный диапазон: Потенциал хорошо работает вблизи равновесного расстояния, но даёт неточные результаты при сильном сжатии или растяжении.
3. Не учитывает многочастичные эффекты: Взаимодействие рассматривается только как парное, что неверно для металлов и ковалентных кристаллов.
4. Неприменимость к сложным структурам: Для полимеров, биоматериалов и аморфных тел закон не даёт удовлетворительных результатов.

Сравнение с другими потенциалами

Влияние на науку

Закон Джонсона — Рида стал важным инструментом в материаловедении середины XX века. Он позволил систематизировать данные о прочности кристаллов и заложил основы для создания более сложных межатомных потенциалов (например, потенциала Эмбеддед-атом метод, EAM). В 1950–1970-х годах на его основе были выполнены многочисленные расчёты для металлов (Al, Cu, Fe, Ni) и ионных кристаллов (NaCl, MgO).

Несмотря на появление более точных квантово-механических методов (теория функционала плотности, DFT), закон Джонсона — Рида продолжает использоваться в учебных целях и для быстрых оценок, особенно в инженерных приложениях, где не требуется высокая точность.

Источники

• Johnson, O. W., & Read, W. T. (1951). Theoretical Strength of Crystals. Physical Review, 82(4), 533–538.
• Киттель Ч. (1978). Введение в физику твёрдого тела. М.: Наука.
• Френкель Я. И. (1945). Кинетическая теория жидкостей. М.: Издательство АН СССР.
• Гилман Дж. (1969). Механические свойства кристаллов. М.: Мир.
• Ashcroft N. W., Mermin N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.