Абсолютная погрешность измерения¶

Абсолютная погрешность — это величина, равная модулю разности между приближённым (измеренным или вычисленным) значением величины и её точным (истинным) значением. В метрологии и теории измерений абсолютная погрешность характеризует отклонение результата измерения от действительного значения физической величины и выражается в единицах измеряемой величины.

¶Определение и математическая формулировка

Если через \(x\) обозначить измеренное значение величины, а через \(x_0\) — её истинное (действительное) значение, то абсолютная погрешность \(\Delta x\) определяется по формуле:

\[ \Delta x = |x - x_0| \]

Поскольку истинное значение физической величины в большинстве случаев остаётся неизвестным, на практике вместо него используют действительное значение — значение, найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному, что для данной цели может быть принято за него. В качестве действительного значения обычно выступает результат измерения, выполненного эталонным или более точным средством измерения, либо среднеарифметическое значение ряда измерений.

Абсолютная погрешность является размерной величиной: если измеряется длина в метрах, то и погрешность выражается в метрах; если масса в килограммах — то в килограммах. Это свойство отличает абсолютную погрешность от относительной, которая представляет собой отношение абсолютной погрешности к измеряемой величине и является безразмерной.

¶Классификация абсолютных погрешностей

В зависимости от характера и причин возникновения выделяют несколько видов погрешностей, каждый из которых может быть выражен в абсолютной форме.

¶Систематическая погрешность

Систематическая погрешность — составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющейся при повторных измерениях одной и той же величины. Она возникает вследствие несовершенства средств измерений, неправильной установки прибора, влияния внешних факторов (температуры, давления), а также методических ошибок. Систематические погрешности могут быть выявлены и учтены путём введения поправок или калибровки оборудования.

¶Случайная погрешность

Случайная погрешность — составляющая погрешности, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины, проведённых в одинаковых условиях. Её появление обусловлено множеством неконтролируемых факторов: вибрациями, флуктуациями питающего напряжения, действиями оператора, тепловым движением частиц. Случайные погрешности подчиняются законам теории вероятностей и не могут быть исключены полностью, однако их влияние на результат можно уменьшить путём многократных измерений и статистической обработки данных.

¶Грубая погрешность (промах)

Грубая погрешность — погрешность, существенно превышающая ожидаемую при данных условиях измерения. Она возникает вследствие ошибок оператора (неверное снятие показаний, неправильная запись результата), отказа прибора или резкого внешнего воздействия. Результаты, содержащие грубые погрешности, подлежат отбраковке по специальным статистическим критериям.

¶Инструментальная и методическая составляющие

По источнику возникновения абсолютную погрешность также разделяют на инструментальную (аппаратурную) и методическую.

Инструментальная погрешность обусловлена несовершенством средств измерений: трением в опорах, неточностью градуировки шкалы, дрейфом характеристик элементов прибора. Для каждого средства измерений эта погрешность нормируется и указывается в паспортных данных, обычно в виде класса точности.

Методическая погрешность возникает из-за несовершенства метода измерений, упрощений в расчётной модели или неполного учёта влияющих факторов. Например, при измерении напряжения вольтметром с малым внутренним сопротивлением часть тока ответвляется в прибор, что приводит к методической ошибке.

¶Погрешность средств измерений

Для средств измерений абсолютная погрешность определяется как разность между показанием прибора и действительным значением измеряемой величины. В зависимости от того, остаётся ли эта погрешность постоянной во всём диапазоне измерений или изменяется, различают аддитивные и мультипликативные погрешности.

Аддитивная погрешность не зависит от значения измеряемой величины и остаётся постоянной во всём диапазоне. Мультипликативная погрешность возрастает пропорционально измеряемой величине. На практике чаще встречается суммарная погрешность, содержащая обе составляющие.

Предел допускаемой абсолютной погрешности средств измерений нормируется нормативно-технической документацией. Для многих приборов он задаётся в виде формулы:

\[ \Delta = \pm (a + b \cdot x) \]

где \(a\) — аддитивная составляющая, \(b\) — коэффициент мультипликативной составляющей, \(x\) — показание прибора.

¶Способы оценивания абсолютной погрешности

При однократных измерениях абсолютная погрешность оценивается на основе класса точности прибора или паспортных данных. При многократных измерениях применяется статистический подход: вычисляется среднеарифметическое значение результатов, а случайная составляющая погрешности оценивается через среднеквадратическое отклонение.

Если прибор имеет класс точности \(K\), выраженный в процентах от нормирующего значения \(x_N\), предел допускаемой абсолютной погрешности рассчитывается по формуле:

\[ \Delta = \pm \frac{K \cdot x_N}{100} \]

Для приборов с классом точности, выраженным через относительную погрешность, абсолютная погрешность зависит от текущего показания.

¶Значение абсолютной погрешности в практических задачах

Абсолютная погрешность является базовой характеристикой точности любых измерений. На её основе вычисляется относительная погрешность, позволяющая сравнивать точность измерений величин разного размера. Например, погрешность в 1 мм при измерении длины 10 м и при измерении длины 1 см имеет совершенно разное практическое значение, хотя абсолютные погрешности одинаковы.

При записи результата измерения принято указывать оценку абсолютной погрешности: \(x = (25,4 \pm 0,1)\) мм. Такая запись означает, что истинное значение измеряемой величины с определённой доверительной вероятностью находится в интервале от 25,3 до 25,5 мм.

Абсолютная погрешность также используется при обработке результатов косвенных измерений, когда искомая величина определяется расчётным путём по результатам прямых измерений других величин. В этом случае погрешность результата вычисляется методом переноса погрешностей — суммированием частных производных функции по каждой из переменных, умноженных на соответствующие абсолютные погрешности.

¶Нормирование и стандартизация

Требования к оцениванию и представлению погрешностей регламентируются государственными стандартами. В Российской Федерации действует ГОСТ 8.736-2011 «Государственная система обеспечения единства измерений. Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений», устанавливающий правила оценки погрешностей при многократных наблюдениях. Международные рекомендации по выражению неопределённости измерений содержатся в документе JCGM 100:2008 (GUM), который в российской практике применяется наряду с национальными стандартами.

Понятие абсолютной погрешности тесно связано с понятием точности измерения: чем меньше абсолютная погрешность, тем выше точность. Однако для оценки качества измерений в метрологии чаще используется обратная величина — относительная погрешность, поскольку она позволяет корректно сопоставлять результаты, полученные для величин различной размерности и масштаба.

¶Источники

• ГОСТ 8.736-2011. Государственная система обеспечения единства измерений. Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения.
• РМГ 29-2013. Государственная система обеспечения единства измерений. Метрология. Основные термины и определения.
• Зайдель А. Н. Ошибки измерений физических величин. — Л.: Наука, 1974.
• Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. — М.: Мир, 1985.