Архимедовы тела

Архимедовы тела — это класс полуправильных выпуклых многогранников, гранями которых являются правильные многоугольники двух или более типов, при этом все вершины многогранника эквивалентны (то есть многогранник является вершинно-транзитивным). В отличие от правильных многогранников (Платоновых тел), у которых все грани — одинаковые правильные многоугольники, архимедовы тела допускают комбинации различных правильных многоугольников, но сохраняют одинаковое расположение вершин. Всего существует 13 архимедовых тел (включая одно зеркально-симметричное, существующее в двух энантиоморфных формах). Они названы в честь древнегреческого математика Архимеда, который впервые описал их в своей утраченной работе.

История

Первое известное описание архимедовых тел принадлежит Архимеду Сиракузскому (около 287–212 гг. до н. э.). В его трактате «О многогранниках» (греч. Περὶ πολυέδρων), который не сохранился до наших дней, были перечислены 13 полуправильных многогранников. Впоследствии эти тела были заново открыты и систематизированы в эпоху Возрождения. В 1619 году немецкий математик Иоганн Кеплер в своей работе «Harmonices Mundi» (Книга II) дал полное описание архимедовых тел, а также впервые применил к ним термин «архимедовы». Кеплер также показал, что существует ровно 13 таких многогранников (не считая бесконечных серий призм и антипризм, которые также являются полуправильными, но не относятся к архимедовым телам в узком смысле). В 1900 году французский математик Анри Пуанкаре подтвердил, что список Кеплера является исчерпывающим, используя теорию групп симметрии.

Определение и свойства

Архимедовы тела являются выпуклыми многогранниками, удовлетворяющими следующим условиям:

• Выпуклость: многогранник не имеет вогнутостей или самопересечений.
• Правильные грани: каждая грань является правильным многоугольником (равносторонним треугольником, квадратом, правильным пятиугольником, шестиугольником, восьмиугольником или десятиугольником).
• Вершинная транзитивность: все вершины многогранника эквивалентны относительно группы симметрии многогранника. Это означает, что для любой пары вершин существует симметрия (поворот или отражение), переводящая одну вершину в другую. Это свойство отличает архимедовы тела от произвольных полуправильных многогранников, у которых может быть несколько типов вершин.
• Однородность: все вершины имеют одинаковую конфигурацию (то есть одинаковый набор граней, сходящихся в вершине, в одинаковом порядке).

Из этих свойств следует, что все архимедовы тела являются изогональными (равноугольными) и имеют одну и ту же группу симметрии, что и соответствующие Платоновы тела (тетраэдрическую, октаэдрическую или икосаэдрическую).

Классификация

Все 13 архимедовых тел можно разделить на несколько групп по способу их получения:

Усечение Платоновых тел

Большинство архимедовых тел получаются путём усечения (срезания) вершин и/или рёбер правильных многогранников (Платоновых тел). Усечение может быть:

• Усечение вершин: срезание каждой вершины на определённую глубину, в результате чего появляются новые грани (правильные многоугольники).
• Усечение рёбер: срезание рёбер, что приводит к появлению дополнительных граней.
• Скос (ромботриаконаэдр): комбинация усечения вершин и рёбер.

Конкретные тела, получаемые из Платоновых тел:

• Усечённый тетраэдр (4 треугольника + 4 шестиугольника) — из тетраэдра.
• Кубоктаэдр (8 треугольников + 6 квадратов) — из куба или октаэдра (срезание вершин до середины рёбер).
• Усечённый куб (8 треугольников + 6 восьмиугольников) — из куба.
• Усечённый октаэдр (6 квадратов + 8 шестиугольников) — из октаэдра.
• Ромбокубоктаэдр (8 треугольников + 18 квадратов) — из куба или октаэдра (скос).
• Усечённый кубоктаэдр (12 квадратов + 8 шестиугольников + 6 восьмиугольников) — из куба или октаэдра (глубокое усечение).
• Икосододекаэдр (20 треугольников + 12 пятиугольников) — из икосаэдра или додекаэдра.
• Усечённый икосаэдр (12 пятиугольников + 20 шестиугольников) — из икосаэдра.
• Усечённый додекаэдр (20 треугольников + 12 десятиугольников) — из додекаэдра.
• Ромбоикосододекаэдр (20 треугольников + 30 квадратов + 12 пятиугольников) — из икосаэдра или додекаэдра (скос).
• Усечённый икосододекаэдр (30 квадратов + 20 шестиугольников + 12 десятиугольников) — из икосаэдра или додекаэдра.

Тела, не являющиеся прямым усечением

Два архимедовых тела не могут быть получены простым усечением Платоновых тел:

• Плосконосый куб (32 треугольника + 6 квадратов) — существует в двух зеркальных формах (левый и правый). Получается путём «разворачивания» граней куба.
• Плосконосый додекаэдр (80 треугольников + 12 пятиугольников) — также существует в двух зеркальных формах. Получается аналогичным образом из додекаэдра.

Полный список

Ниже приведена таблица всех 13 архимедовых тел (включая энантиоморфные пары):

Применение и значение

Архимедовы тела находят применение в различных областях науки и техники:

• Кристаллография: Некоторые архимедовы тела, такие как кубоктаэдр и усечённый октаэдр, встречаются в структурах кристаллов (например, в кристаллах пирита, в клатратах). Усечённый октаэдр является пространственной формой ячейки в некоторых кристаллических решётках (например, в цеолитах).
• Химия: В химии кластеров и наночастиц архимедовы тела описывают форму некоторых молекул. Например, фуллерен C60 (бакибол) имеет форму усечённого икосаэдра — одного из архимедовых тел. Это открытие (1985 год) привело к Нобелевской премии по химии в 1996 году. Также архимедовы тела используются для описания координационных полиэдров в комплексных соединениях.
• Архитектура и дизайн: Формы архимедовых тел используются в архитектуре (например, купола, фонари, декоративные элементы), в дизайне мебели, светильников, ювелирных изделий. Усечённый икосаэдр лёг в основу дизайна футбольного мяча (классический мяч с 20 шестиугольниками и 12 пятиугольниками).
• Математика: Архимедовы тела являются важным объектом изучения в комбинаторной геометрии, теории групп и топологии. Они служат примерами выпуклых многогранников с высокой степенью симметрии.
• Игры и головоломки: Формы архимедовых тел используются в настольных играх (например, в качестве игральных костей) и в головоломках (например, в механических головоломках типа «кубик Рубика» существуют варианты на основе ромбокубоктаэдра).

Интересные факты

• В отличие от Платоновых тел, архимедовы тела не являются правильными: их грани не все одинаковы, но все вершины эквивалентны.
• Существует 13 архимедовых тел, но если учитывать зеркальные копии плосконосых тел, то общее число различных многогранников равно 15.
• Усечённый икосаэдр — единственное архимедово тело, которое является также и полуправильным многогранником, но не является правильным. Он также известен как «футбольный мяч».
• Архимедовы тела тесно связаны с каталановыми телами — двойственными им многогранниками, у которых все грани одинаковы, а вершины — различны.

Источники

• Кеплер И. «Harmonices Mundi» (1619).
• Пуанкаре А. «О многогранниках» (1900).
• Веннинджер М. «Модели многогранников» (1974).
• Коксетер Г. С. М. «Введение в геометрию» (1969).
• Фуллерен C60 — Нобелевская премия по химии 1996 года.