Классификация многоугольников¶

Многоугольник — это геометрическая фигура на плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией без самопересечений. Многоугольники классифицируются по различным признакам: форме, количеству сторон, свойствам углов и симметрии. Классификация лежит в основе планиметрии и находит применение в компьютерной графике, архитектуре и картографии.

¶Основные виды многоугольников

¶По количеству сторон

Наиболее распространённое деление основано на числе вершин (сторон). Многоугольник с \(n\) сторонами называется \(n\)-угольником. В русскоязычной традиции для чисел от 3 до 10 используются устоявшиеся названия:

• Треугольник — 3 стороны;
• Четырёхугольник — 4 стороны;
• Пятиугольник — 5 сторон;
• Шестиугольник — 6 сторон;
• Семиугольник — 7 сторон;
• Восьмиугольник — 8 сторон;
• Девятиугольник — 9 сторон;
• Десятиугольник — 10 сторон.

Для многоугольников с числом сторон более 10 обычно применяют составные названия: одиннадцатиугольник, двенадцатиугольник и далее по тому же принципу.

¶По форме и свойствам углов

Выпуклые и невыпуклые. Многоугольник называется выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от прямой, проведённой через любую его сторону. Иначе он относится к невыпуклым (вогнутым). У выпуклого многоугольника все внутренние углы меньше 180°, у вогнутого — хотя бы один угол превышает 180°.

Правильные и неправильные. Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Примеры: равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник. Неправильные многоугольники не удовлетворяют этому условию хотя бы по одному из параметров.

Звёздчатые. Отдельный класс составляют звёздчатые многоугольники (например, пентаграмма), которые образуются ломаной линией с самопересечениями. Строго говоря, они не являются многоугольниками в классическом определении, но рассматриваются в геометрии как особый случай.

¶Классификация треугольников

Треугольники делятся по соотношению сторон и величине углов.

По сторонам:

• Равносторонний — все три стороны равны;
• Равнобедренный — две стороны равны;
• Разносторонний — все стороны различны.

По углам:

• Остроугольный — все углы меньше 90°;
• Прямоугольный — один угол равен 90°;
• Тупоугольный — один угол больше 90°.

Комбинированная классификация (например, равнобедренный прямоугольный треугольник) используется в тригонометрии и инженерных расчётах.

¶Классификация четырёхугольников

Четырёхугольники представляют наиболее разветвлённую иерархию. Основные классы:

• Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Разновидности: равнобедренная (боковые стороны равны) и прямоугольная (имеет прямой угол).
• Параллелограмм — четырёхугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны.
• Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.
• Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.
• Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны (частный случай ромба и прямоугольника одновременно).
• Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны, но противоположные стороны не равны.

Иерархия наследования: квадрат является одновременно прямоугольником, ромбом и параллелограммом; прямоугольник и ромб — частные случаи параллелограмма.

¶Классификация по симметрии

По наличию осей симметрии многоугольники делятся на:

• Симметричные — имеют хотя бы одну ось симметрии (равнобедренный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник);
• Асимметричные — не имеют осей симметрии (разносторонний треугольник, произвольная трапеция).

Правильные многоугольники обладают наибольшей симметрией: число осей симметрии равно числу сторон.

¶Прочие критерии

В вычислительной геометрии многоугольники дополнительно классифицируют по ориентации обхода вершин (по часовой стрелке или против), по простоте (отсутствие самопересечений) и по равноугольности (равенство всех углов без обязательного равенства сторон). В прикладных задачах выделяют монотонные многоугольники (пересекаются любой вертикальной линией не более чем в двух точках) и ортогональные (все стороны перпендикулярны осям координат).

¶Значение классификации

Систематизация многоугольников позволяет применять к целым классам фигур единые формулы площади, периметра и углов. Например, формула суммы внутренних углов \((n-2) \times 180^\circ\) справедлива для любого выпуклого \(n\)-угольника. Классификация также упрощает алгоритмы триангуляции (разбиения на треугольники) в компьютерной графике и геоинформационных системах.

¶Источники

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. «Геометрия. 7–9 классы»
• Погорелов А. В. «Геометрия. 7–11 классы»
• Коксетер Г. С. М. «Введение в геометрию»