Биэллиптический переход

Биэллиптический переход — это тип орбитального манёвра, используемый для перемещения космического аппарата с одной круговой орбиты на другую, лежащую в той же плоскости, с помощью двух последовательных импульсов тяги. В отличие от классического гомановского перехода, который выполняется по эллиптической траектории, касающейся обеих орбит, биэллиптический переход включает промежуточную эллиптическую орбиту, апогей которой значительно превышает радиус целевой орбиты. Этот метод позволяет сэкономить топливо (характеристическую скорость, ΔV) при определённых соотношениях радиусов начальной и конечной орбит, но ценой увеличения времени перелёта.

История и теоретическое обоснование

Концепция биэллиптического перехода была разработана в рамках классической небесной механики и теории оптимального управления космическими полётами. В середине XX века, с началом космической эры, инженеры и математики (в том числе советские учёные, такие как В. А. Егоров и М. Л. Лидов) активно исследовали различные схемы орбитальных манёвров для минимизации затрат топлива. Биэллиптический переход был предложен как альтернатива гомановскому переходу, который является оптимальным по расходу топлива только для перехода между орбитами с небольшим отношением радиусов (менее примерно 11,94). Для более высоких орбит или при переходе на орбиты с большим радиусом биэллиптическая схема может дать выигрыш.

Теоретически, при стремлении апогея промежуточной орбиты к бесконечности, затраты ΔV на биэллиптический переход стремятся к минимально возможному значению, определяемому разностью скоростей на круговых орбитах, но никогда не достигают его. На практике, из-за ограничений по времени и гравитационного влияния других небесных тел, бесконечный апогей нереализуем, но использование очень высоких эллиптических орбит (например, с апогеем в несколько раз превышающим радиус целевой орбиты) может быть эффективным.

Принцип выполнения

Биэллиптический переход состоит из трёх фаз:

1. Первый импульс (ΔV₁): Космический аппарат находится на начальной круговой орбите радиусом \( r_1 \). Включается двигатель, и аппарат переводится на эллиптическую переходную орбиту с перигеем \( r_1 \) и апогеем \( r_b \), где \( r_b \) — радиус промежуточной точки, значительно превышающий радиус целевой орбиты \( r_2 \). Этот импульс увеличивает скорость аппарата.
2. Пассивный полёт по промежуточной орбите: Аппарат движется по эллипсу от перигея к апогею. Время этого полёта составляет половину периода обращения по этой эллиптической орбите.
3. Второй импульс (ΔV₂): В апогее промежуточной орбиты (на расстоянии \( r_b \)) включается двигатель. Этот импульс может быть как разгонным, так и тормозным, в зависимости от того, нужно ли увеличить или уменьшить скорость для перехода на конечную орбиту. В классическом случае перехода на более высокую орбиту (\( r_2 > r_1 \)) второй импульс является разгонным и переводит аппарат на вторую эллиптическую орбиту, перигей которой равен \( r_b \), а апогей — \( r_2 \). Однако для простоты часто рассматривают схему, где второй импульс сразу формирует конечную круговую орбиту. Для этого в апогее промежуточной орбиты аппарат получает импульс, который переводит его на вторую эллиптическую орбиту, касающуюся целевой круговой орбиты в её апогее (или перигее, в зависимости от схемы). Затем, в точке касания, выполняется третий импульс (ΔV₃) для циркуляризации орбиты.

Таким образом, в общем случае биэллиптический переход требует трёх импульсов, хотя часто под ним понимают двух- или трёхимпульсную схему. Наиболее распространённая трёхимпульсная схема включает:

• ΔV₁: Перевод с начальной круговой орбиты на эллиптическую орбиту с апогеем \( r_b \).
• ΔV₂: В апогее — перевод с первой эллиптической орбиты на вторую эллиптическую орбиту, перигей которой равен \( r_2 \).
• ΔV₃: В перигее второй эллиптической орбиты — торможение для перехода на круговую орбиту радиусом \( r_2 \).

Если \( r_b \) стремится к бесконечности, то ΔV₁ и ΔV₂ стремятся к нулю, а ΔV₃ — к разности круговых скоростей на орбитах \( r_1 \) и \( r_2 \). Однако время перехода при этом стремится к бесконечности.

Сравнение с гомановским переходом

Основное различие между биэллиптическим и гомановским переходами заключается в балансе между затратами топлива и временем перелёта.

• Затраты характеристической скорости (ΔV): Для перехода на орбиту с большим радиусом (\( r_2 > r_1 \)) гомановский переход является оптимальным по ΔV при отношении радиусов \( r_2 / r_1 < 11,94 \). При \( r_2 / r_1 = 11,94 \) затраты обоих методов равны. При \( r_2 / r_1 > 11,94 \) биэллиптический переход становится более выгодным по топливу. Выигрыш может быть значительным, особенно при очень больших отношениях радиусов. Например, для перехода с низкой околоземной орбиты (НОО, ~200 км) на геостационарную орбиту (ГСО, ~35 786 км) отношение радиусов составляет около 6,6, что меньше 11,94, поэтому гомановский переход эффективнее. Однако для перехода с НОО на орбиту Луны или в точку Лагранжа L2 отношение радиусов может превышать 100, и биэллиптический переход даёт существенную экономию топлива.
• Время перелёта: Гомановский переход занимает половину периода обращения по переходному эллипсу, что составляет примерно 5–6 часов для перехода с НОО на ГСО. Биэллиптический переход требует полёта до апогея промежуточной орбиты, который может находиться на расстоянии в десятки или сотни раз больше радиуса начальной орбиты. Период такой орбиты может составлять недели, месяцы или даже годы. Таким образом, биэллиптический переход всегда значительно дольше.
• Количество импульсов: Гомановский переход требует двух импульсов (разгон и торможение). Биэллиптический переход, как правило, требует трёх импульсов, что усложняет управление и требует более точного расчёта.

Применение

Биэллиптический переход применяется в тех случаях, когда экономия топлива является критически важной, а время перелёта не имеет решающего значения. Основные области применения:

• Перевод космических аппаратов на высокие орбиты: Например, для вывода спутников на геостационарную орбиту с использованием электрических двигателей (ионных, плазменных). Электрические двигатели имеют очень высокий удельный импульс, но малую тягу, поэтому они не могут выполнить быстрый гомановский переход. Вместо этого аппарат медленно, по спирали, поднимает свою орбиту, что фактически является разновидностью биэллиптического перехода с очень большим числом импульсов. Однако классический биэллиптический переход с тремя импульсами также используется для перевода аппаратов с химическими двигателями на очень высокие орбиты, например, для вывода на орбиты захоронения геостационарных спутников.
• Межпланетные перелёты: В некоторых случаях, особенно при перелётах к внешним планетам (Юпитер, Сатурн), биэллиптическая схема может быть использована для экономии топлива, хотя на практике чаще применяются гравитационные манёвры. Например, для перехода с орбиты Земли на орбиту Марса с использованием биэллиптической схемы может потребоваться меньше ΔV, чем при гомановском перелёте, но время полёта увеличится с 8–9 месяцев до нескольких лет.
• Коррекция орбит и манёвры уклонения: В некоторых случаях, когда требуется изменить наклонение орбиты или выполнить сложный манёвр, биэллиптический переход может быть частью более сложной последовательности импульсов.

Математическое описание

Для круговых начальной (\( r_1 \)) и целевой (\( r_2 \)) орбит, лежащих в одной плоскости, и промежуточной орбиты с апогеем \( r_b \), затраты характеристической скорости для трёхимпульсного биэллиптического перехода (переход на более высокую орбиту, \( r_2 > r_1 \)) рассчитываются по формулам, основанным на законе сохранения энергии и момента импульса.

Скорость на круговой орбите: \( v_c = \sqrt{\mu / r} \), где \( \mu \) — гравитационный параметр центрального тела.

Первый импульс (разгон в перигее переходной орбиты): \[ \Delta V_1 = \sqrt{\frac{2\mu}{r_1}} \left( \sqrt{\frac{r_b}{r_1 + r_b}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \]

Второй импульс (в апогее первой переходной орбиты, перевод на вторую переходную орбиту): \[ \Delta V_2 = \sqrt{\frac{2\mu}{r_b}} \left( \sqrt{\frac{r_2}{r_2 + r_b}} - \sqrt{\frac{r_1}{r_1 + r_b}} \right) \]

Третий импульс (торможение в перигее второй переходной орбиты для выхода на круговую орбиту): \[ \Delta V_3 = \sqrt{\frac{2\mu}{r_2}} \left( 1 - \sqrt{\frac{r_b}{r_2 + r_b}} \right) \]

Суммарные затраты: \( \Delta V_{total} = \Delta V_1 + \Delta V_2 + \Delta V_3 \).

Для сравнения, затраты для гомановского перехода: \[ \Delta V_{Hohmann} = \sqrt{\frac{\mu}{r_1}} \left( \sqrt{\frac{2r_2}{r_1 + r_2}} - 1 \right) + \sqrt{\frac{\mu}{r_2}} \left( 1 - \sqrt{\frac{2r_1}{r_1 + r_2}} \right) \]

При \( r_b \to \infty \) суммарные затраты биэллиптического перехода стремятся к \( \sqrt{\mu / r_1} - \sqrt{\mu / r_2} \), что меньше, чем затраты гомановского перехода для \( r_2 / r_1 > 11,94 \).

Ограничения и критика

Основным недостатком биэллиптического перехода является значительное увеличение времени полёта. Это делает его неприменимым для пилотируемых миссий, где время пребывания в радиационных поясах или длительность перелёта критичны. Кроме того, для выполнения манёвра требуется высокая точность навигации и расчёта импульсов, особенно при большом апогее промежуточной орбиты, где гравитационные возмущения от других небесных тел (например, Луны для околоземных орбит) могут существенно повлиять на траекторию. Также, при очень большом апогее, аппарат может попасть в зону гравитационного влияния других тел, что потребует дополнительных коррекций.

Источники

1. Егоров В. А., Гусев Л. И. Динамика полёта космических аппаратов. — М.: Наука, 1980.
2. Лидов М. Л. Курс лекций по небесной механике и космодинамике. — М.: МФТИ, 1984.
3. Bate, R. R., Mueller, D. D., White, J. E. Fundamentals of Astrodynamics. — Dover Publications, 1971.
4. Vallado, D. A. Fundamentals of Astrodynamics and Applications. — 4th ed. — Microcosm Press, 2013.
5. Chobotov, V. A. Orbital Mechanics. — 3rd ed. — AIAA, 2002.