Давид Гильберт

Давид Гильберт (нем. David Hilbert; 23 января 1862, Велау, провинция Пруссия — 14 февраля 1943, Гёттинген, нацистская Германия) — немецкий математик, один из величайших учёных XX века. Внёс фундаментальный вклад в развитие алгебры, теории чисел, математической логики, функционального анализа, геометрии и математической физики. Гильберт является основоположником формализма — одного из главных направлений в основаниях математики. Его программа обоснования математики стала важнейшей вехой в развитии логики, а список из 23 нерешенных проблем, представленный им в 1900 году, определил направления исследований в математике на несколько десятилетий вперед.

Биография

Ранние годы и образование

Давид Гильберт родился в семье судьи Отто Гильберта и Марии Терезы Эрдманн. Детство провёл в Кёнигсберге (ныне Калининград), где в 1880 году окончил гимназию имени Фридриха-Вильгельма. С 1880 по 1885 год учился в Кёнигсбергском университете «Альбертина». Среди его преподавателей были Фердинанд фон Линдеман и Герман Гельмгольц. Особое влияние на Гильберта оказал Адольф Гурвиц, с которым он тесно общался в студенческие годы.

Профессорская деятельность

В 1886 году Гильберт получил степень доктора философии (PhD) за диссертацию «О неприводимости целых рациональных функций с целыми коэффициентами» (Über die Irreducibilität ganzer rationaler Functionen mit ganzzahligen Coefficienten). В 1892 году он стал экстраординарным профессором Кёнигсбергского университета, а в 1895 году — ординарным профессором Гёттингенского университета, сменив на этом посту Генриха Вебера. Гёттинген под руководством Гильберта превратился в один из ведущих мировых центров математической мысли.

В 1930 году Гильберт ушёл в отставку с кафедры, но продолжал научную работу. С приходом к власти нацистов в 1933 году Гёттингенский университет утратил многих выдающихся учёных еврейского происхождения (Эмми Нётер, Герман Вейль и другие). Гильберт, будучи сторонником академического интернационализма, критически относился к политике режима, но избегал открытых конфликтов. Умер Гильберт в 1943 году от последствий падения и перелома бедра.

Основные достижения в математике

Теория инвариантов (1890–1893)

Ранние работы Гильберта посвящены теории алгебраических инвариантов. В 1890 году он доказал теорему Гильберта о базисе, которая утверждает, что любое идеальное кольцо многочленов над полем является конечно порождённым. Это полностью изменило подход к теории инвариантов: вместо построения явных базисов стало возможным доказывать их существование чисто алгебраическими методами. В 1893 году он доказал теорему Гильберта о нулях (Nullstellensatz), устанавливающую связь между алгебраическими множествами и идеалами колец многочленов — фундамент современной алгебраической геометрии.

Теория чисел (1897–1898)

В 1897 году Гильберт опубликовал «Отчёт о числах» (Zahlbericht) — монументальный обзор теории алгебраических чисел, который систематизировал достижения Эрнста Куммера, Леопольда Кронекера и Рихарда Дедекинда. Гильберт ввёл понятие поля классов и сформулировал гипотезу (впоследствии доказанную) об однозначной разрешимости задачи о циклотомических полях. Его работы заложили основы теории полей классов, развитой впоследствии Эмилем Артином и Теуцзи Такаги.

Основания геометрии (1899)

Книга Гильберта «Основания геометрии» (Grundlagen der Geometrie, 1899) стала революционным трудом. Гильберт предложил полную аксиоматизацию евклидовой геометрии, устранив неточности, содержавшиеся в «Началах» Евклида. Система Гильберта включает 20 аксиом, разделённых на пять групп: аксиомы связи, порядка, конгруэнтности, непрерывности и аксиома параллельности. Он доказал их непротиворечивость, сведя её к непротиворечивости арифметики. Этот подход стал образцом для аксиоматизации всех разделов математики.

Функциональный анализ (1900–1910)

Гильберт внёс решающий вклад в становление функционального анализа. В серии работ по интегральным уравнениям (1904–1910) он ввёл понятие гильбертова пространства — бесконечномерного полного евклидова пространства, ставшего центральным объектом квантовой механики и спектральной теории. Он разработал спектральную теорию для ограниченных и неограниченных самосопряженных операторов, которая получила завершение в работах Джона фон Неймана. В 1906 году Гильберт опубликовал работу, в которой фактически сформулировал понятие абсолютной сходимости рядов Фурье в гильбертовом пространстве.

Теория относительности (1915)

В 1915 году Гильберт независимо от Альберта Эйнштейна вывел уравнения гравитационного поля общей теории относительности. 20 ноября 1915 года он представил Гёттингенской академии наук меморандум «Основы физики», где впервые были записаны уравнения поля Эйнштейна в их окончательной форме. Эйнштейн, узнав об этом, ускорил публикацию своей работы, представленной 25 ноября. Между учёными не было конфликта: Гильберт признавал приоритет Эйнштейна в физической концепции, а Эйнштейн — математическое мастерство Гильберта.

Математическая логика (1920-е)

В 1920-е годы Гильберт разработал программу формализации математики, известную как программа Гильберта. Её цель заключалась в доказательстве непротиворечивости всей математики с помощью конечных, финитных методов. Гильберт (совместно с Паулем Бернайсом) создал формальную арифметику и исчисление предикатов первого порядка. В 1931 году Курт Гёдель опубликовал свою теорему о неполноте, которая показала принципиальную неосуществимость программы Гильберта в её исходной форме: для любой достаточно сильной формальной системы невозможно доказать её непротиворечивость средствами самой системы. Тем не менее программа Гильберта оказала огромное влияние на развитие логики и теории алгоритмов.

Проблемы Гильберта

6 августа 1900 года на Втором Международном конгрессе математиков в Париже Гильберт выступил с докладом «Математические проблемы», в котором перечислил 23 нерешённые задачи. Среди них:

1. Проблема континуума (разрешена Полом Коэном в 1963 году)
2. Непротиворечивость арифметики (частично решена Гёделем в 1931 году)
3. Равносоставленность многогранников (решена Максом Деном в 1901 году)
4. Задача о минимуме расстояния между числами (не решена до сих пор)
5. Гипотеза о неархимедовых полях (решена в рамках общей теории)
6. Аксиоматизация физики (продолжаются исследования)
7. Иррациональность некоторых чисел (решена частично)
8. Проблема простых чисел (гипотеза Римана, не решена)
9. Закон взаимности (решена Кронекером и Такаги)
10. Разрешимость диофантовых уравнений (решена Юрием Матиясевичем в 1970 году)
11. Квадратичные формы (решена)
12. Поля классов (решена)
13. Однозначность решения уравнений (решена)
14. Конечность систем функций (решена)
15. Строгое обоснование исчисления Шуберта (решена)
16. Топология алгебраических кривых (не решена полностью)
17. Представление положительных форм квадратами (решена Эмилем Артином в 1927 году)
18. Замощение пространства (решена частично)
19. Регулярность решений вариационных задач (решена)
20. Задача Дирихле (решена)
21. Обыкновенные дифференциальные уравнения с заданной монодромией (решена)
22. Униформизация аналитических функций (решена)
23. Вариационное исчисление (решена)

Педагогическая деятельность

Гильберт был блестящим педагогом. За годы работы в Гёттингене он подготовил более 70 докторов наук. Среди его учеников — Герман Вейль, Эрих Гекке, Эмми Нётер, Рихард Курант, Бернд Штаммлер. Гильберт читал лекции по самым разным темам: от теории чисел до квантовой механики. Его лекции, многие из которых были опубликованы, отличались ясностью и систематичностью. Особо известен курс «Методы математической физики», подготовленный совместно с Рихардом Курантом.

Личные качества

Современники отмечали у Гильберта жизнерадостность, неутомимую работоспособность и страстное увлечение математикой. Ему была свойственна почти детская непосредственность: он мог часами обсуждать одну задачу, прерываясь только на еду или сон. Гильберт не терпел академических условностей и бюрократии. Его изречение «Мы должны знать — мы будем знать» (Wir müssen wissen — wir werden wissen), произнесённое 8 сентября 1930 года в Кёнигсберге, стало девизом его методологии и высечено на его надгробии.

Влияние и наследие

Влияние Гильберта на математику XX века исключительно велико. Гильбертовы пространства лежат в основе квантовой механики. Теория инвариантов и нулей — фундамент алгебраической геометрии. Его аксиоматический подход к геометрии стал образцом для всех теоретических наук. Программа Гильберта, хотя и показала свою ограниченность, стимулировала развитие теории алгоритмов (через работы Гёделя, Тьюринга и Черча).

Имя Гильберта носят: гильбертово пространство, гильбертова алгебра, гильбертова куб, гильбертова система аксиом, гильбертовы проблемы. В его честь названы кратер на Луне и астероид 12022.

Источники

• Hilbert D. Gesammelte Abhandlungen. — Berlin: Springer, 1932–1935.
• Reid C. Hilbert. — New York: Springer, 1970.
• Weyl H. David Hilbert and his mathematical work // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1944. — Vol. 50. — P. 612–654.
• Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.: Наука, 1987.
• Гилберт Д. Основания геометрии. — М.: Гостехиздат, 1948.