Аксиома

Аксиома — это утверждение, принимаемое в рамках определённой теории или формальной системы без доказательства, в силу его очевидности, фундаментальности или соглашения, и служащее исходным положением для вывода других утверждений (теорем) данной теории.

Понятие аксиомы является одним из центральных в математике, логике, а также в ряде разделов философии и теоретического естествознания. Аксиомы образуют базис, на котором строится всё здание дедуктивной системы. Выбор аксиом и их количество определяют специфику и область применимости соответствующей теории.

История

Античность

Первая известная попытка систематического изложения математики на основе аксиом была предпринята в Древней Греции. Вершиной этого подхода стали «Начала» Евклида (ок. 300 г. до н. э.). Евклид ввёл два типа исходных положений: постулаты (требования, относящиеся к геометрии) и аксиомы (общие понятия, истинные для любой науки). Например, знаменитый пятый постулат (о параллельных прямых) оставался предметом споров на протяжении двух тысячелетий, пока его независимость не была доказана в XIX веке.

Аристотель в «Аналитике» и «Метафизике» разработал логическую теорию доказательства, где аксиома понималась как первичное, недоказуемое, но достоверное начало науки. Он разделял аксиомы на общие (например, закон исключённого третьего) и специальные (аксиомы конкретной науки).

Средневековье и Новое время

В схоластической философии аксиомы отождествлялись с самоочевидными истинами, данными разуму от Бога. В XVII—XVIII веках, с развитием рационализма (Р. Декарт, Б. Спиноза, Г. В. Лейбниц), аксиомы стали рассматриваться как врождённые идеи или интуитивно ясные положения, на которых строится научное знание. Спиноза в своей «Этике» попытался изложить философию геометрическим методом, взяв за основу ряд аксиом и определений.

И. Кант в «Критике чистого разума» пересмотрел статус аксиом, предложив различать априорные синтетические суждения (в том числе аксиомы геометрии) — они доопытны, но расширяют знание, в отличие от аналитических (тавтологии). Кант считал, что аксиомы Евклида априорны и являются условием возможности чувственного созерцания пространства.

XIX век: кризис оснований

Открытие неевклидовых геометрий (Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи, К. Ф. Гаусс, Б. Риман) показало, что аксиомы не обязательно должны быть «самоочевидными». Замена пятого постулата на противоположный привела к созданию логически непротиворечивых, но интуитивно непривычных геометрий. Это разрушило представление об аксиомах как об истинах, отражающих реальность. Стало ясно, что аксиомы — это произвольные соглашения (конвенции), лишь бы они были непротиворечивы и задавали структуру.

Д. Гильберт в своей «Геометрии и воображении» (1899) предложил формальный аксиоматический метод, в котором аксиомы трактуются как неопределённые понятия, а термины («точка», «прямая», «плоскость») получают смысл только через отношения, задаваемые аксиомами. Цель — доказать непротиворечивость и полноту системы.

XX век: формализация и пределы

В начале XX века возникла программа обоснования математики (Гильберт, Б. Рассел, А. Уайтхед). Рассел и Уайтхед в «Principia Mathematica» (1910—1913) пытались вывести всю математику из небольшого набора логических аксиом (логицизм). Однако доказательство К. Гёделя (1931) о неполноте показало, что в любой достаточно богатой формальной системе (содержащей арифметику) существуют истинные утверждения, которые в ней недоказуемы, и непротиворечивость такой системы нельзя установить её же средствами. Это наложило теоретические ограничения на аксиоматический метод.

Виды и функции аксиом

По происхождению и статусу

В современной науке аксиомы классифицируют по их роли и способу обоснования:

• Логические аксиомы — схемы правил вывода, присущие любой дедуктивной системе (например, законы тождества, непротиворечия, исключённого третьего). Они не зависят от содержания теории.
• Математические (специальные) аксиомы — описывают свойства конкретных математических объектов (натуральные числа, множества, группы, векторные пространства). Пример: аксиомы Пеано для арифметики, аксиомы теории множеств Цермело — Френкеля (ZF).
• Физические аксиомы (постулаты) — принимаются как основания для построения физической теории, часто на основе обобщения опытных данных. Пример: законы Ньютона, постулаты специальной теории относительности (принцип относительности, постоянство скорости света).
• Философские аксиомы (основания) — недоказуемые в рамках философской системы положения, на которых она строится.

По типу формальной системы

• Аксиоматическая теория — совокупность аксиом (исходных утверждений), правил вывода и теорем, выводимых из них.
• Формальная система — аксиомы записаны на формальном языке (без содержательной интерпретации). Пример: исчисление высказываний, исчисление предикатов.
• Гильбертова программа — требовалась конечная непротиворечивость, полнота и разрешимость аксиоматической системы.

Примеры классических аксиоматических систем

Геометрия Евклида

В «Началах» Евклида пять постулатов (например, «через любые две точки можно провести прямую») и пять общих понятий (аксиом — «если к равным прибавить равные, то и целые равны»). Пятый постулат (о параллельных) стал причиной многовековых споров.

Арифметика Пеано

Дж. Пеано (1889) предложил пять аксиом для натуральных чисел:

1. 0 — натуральное число.
2. У каждого натурального числа есть следующий (S(n)).
3. 0 не является следующим ни для какого числа.
4. Если S(a)=S(b), то a=b.
5. Аксиома индукции: если свойство выполняется для 0 и из его выполнения для n следует выполнение для S(n), то оно выполняется для всех натуральных чисел.

Теория множеств Цермело — Френкеля (ZFC)

Наиболее распространённая система аксиом, включающая аксиомы:

• Экстенсиональности (множества равны, если содержат одни и те же элементы).
• Пустого множества.
• Пары.
• Суммы (объединения).
• Степени (множество всех подмножеств).
• Бесконечности (существование множества N).
• Выделения (подмножества задаются свойством).
• Подстановки.
• Фундирования (нет бесконечно убывающих цепочек вложения).
• Выбора (аксиома выбора — часто выделяется отдельно как C).

Критика и проблемы

• Непротиворечивость: невозможно доказать непротиворечивость любой содержательной аксиоматической системы её же средствами (первая теорема Гёделя). Остаётся полагаться на косвенные методы и веру в непротиворечивость.
• Полнота: для арифметики и теории множеств системы неполны (есть истинные, но недоказуемые утверждения).
• Произвольность и конвенциональность: в современном понимании выбор аксиом — вопрос соглашения, а не абсолютной истины. Разные системы могут описывать разные «миры» (например, евклидова и неевклидова геометрии).
• Проблема обоснования: как объяснить применимость аксиом к реальности? В физике постулаты проверяются опытом, в математике — логической непротиворечивостью и плодотворностью.

Аксиомы в философии и методологии науки

В философии под аксиомами могут пониматься либо самодостаточные истины разума (априоризм), либо конвенции (конвенционализм А. Пуанкаре). В марксистской диалектике аксиоматический метод критиковался за отрыв от практики и рассмотрение лишь формальных отношений, однако признавался полезным для структурирования знаний.

В правоведении существуют аксиомы права — общепризнанные, не требующие доказательства положения: «закон обратной силы не имеет», «нельзя судить дважды за одно и то же», «никто не может быть свидетелем против самого себя». В праве они выполняют функцию гарантий справедливости.

Применение аксиоматического метода

• Математика и логика: построение теорий (групп, колец, полей, топологических пространств).
• Теоретическая физика: аксиоматическая квантовая теория поля (аксиомы Вайтмана), термодинамика (аксиомы Клаузиуса).
• Лингвистика: формальные грамматики (аксиомы Хомского).
• Информатика: формальные языки и системы доказательства, проверка корректности программ.
• Экономика: аксиомы теории полезности (фон Нейман — Моргенштерн), аксиомы рационального выбора.

Источники

1. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. — М.: Наука, 1979.
2. Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — М.: Наука, 2004.
3. Кант И. Критика чистого разума. — М.: Мысль, 1994.
4. Гёдель К. О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем. — М.: УРСС, 2000.
5. Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966.
6. Пуанкаре А. О науке. — М.: Наука, 1983.
7. Кутателадзе С. С. Основания математики. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2006.