Дэвид Гильберт

Давид Гильберт (нем. David Hilbert; 23 января 1862, Велау, Пруссия — 14 февраля 1943, Гёттинген, Германия) — немецкий математик, один из крупнейших и наиболее влиятельных математиков конца XIX — первой половины XX века. Внёс фундаментальный вклад в развитие алгебры, теории инвариантов, алгебраической теории чисел, функционального анализа, геометрии, математической физики и оснований математики. Наиболее известен как автор программы формализации математики («программа Гильберта») и списка 23 нерешённых математических задач, представленного в 1900 году, который определил направления развития математической науки на многие десятилетия вперёд.

Биография

Ранние годы и образование

Давид Гильберт родился 23 января 1862 года в городе Велау (ныне Знаменск, Калининградская область, Россия) в семье судьи Отто Гильберта и его супруги Марии. Детство провёл в Кёнигсберге, где и получил начальное образование. В 1880 году поступил в Кёнигсбергский университет «Альбертина». Среди его университетских наставников были математики Генрих Вебер и Адольф Гурвиц, с последним у Гильберта сложились тесные дружеские и научные отношения, оказавшие значительное влияние на его развитие. В 1884 году Гильберт защитил докторскую диссертацию на тему «Об инвариантных свойствах специальных бинарных форм» (нем. Über die invarianten Eigenschaften spezieller binärer Formen) под руководством Фердинанда фон Линдемана.

Карьера

В 1886 году Гильберт получил звание приват-доцента в Кёнигсбергском университете. В 1892 году стал экстраординарным профессором, а в 1893 году — ординарным профессором. В 1895 году, по приглашению Феликса Клейна, перешёл в Гёттингенский университет, который к тому времени стал ведущим математическим центром мира. Гильберт проработал в Гёттингене до выхода на пенсию в 1930 году, воспитав целую плеяду выдающихся математиков. С приходом к власти нацистов в 1933 году научная среда в Гёттингене начала разрушаться: многие коллеги Гильберта еврейского происхождения были уволены. Сам Гильберт, несмотря на свой преклонный возраст, выражал несогласие с политикой режима; умер он в Гёттингене 14 февраля 1943 года в относительной изоляции.

Научный вклад

Научное наследие Гильберта охватывает множество разделов математики. Его работы отличались глубиной, ясностью изложения и умением формулировать ключевые проблемы.

Теория инвариантов (1885–1893)

Первые крупные работы Гильберта были посвящены теории инвариантов. Он доказал «теорему о конечности базиса» для инвариантов, показав, что — в отличие от ожиданий многих современников — любой набор инвариантов алгебраических форм имеет конечный базис. Доказательство было неконструктивным (не давало алгоритма для нахождения базиса), что вызвало критику со стороны Пауля Гордана, однако Гильберт настоял на значимости подобных методов. Эти работы заложили основы структурной алгебры.

Теория чисел (1893–1898)

В 1897 году Гильберт опубликовал монументальный «Zahlbericht» («Отчёт о числах»), где систематизировал и развил алгебраическую теорию чисел, созданную Эрнстом Куммером, Леопольдом Кронекером и Рихардом Дедекиндом. В этой работе он ввёл понятие «гильбертова поля классов» и сформулировал основные идеи теории полей классов, которая впоследствии была строго обоснована его учениками (Филипп Фуртвенглер, Эмиль Артин).

Основания геометрии (1899)

Книга «Основания геометрии» (нем. Grundlagen der Geometrie) стала эталоном аксиоматического метода. Гильберт предложил полную систему аксиом евклидовой геометрии, разделив их на пять групп (аксиомы принадлежности, порядка, конгруэнтности, непрерывности и параллельности). В книге была доказана непротиворечивость этой аксиоматики (относительно арифметики), а также рассмотрены вопросы независимости аксиом. Работа оказала огромное влияние на всё дальнейшее развитие математической логики и методологии.

Интегральные уравнения и функциональный анализ (1900–1912)

Гильберт внёс решающий вклад в теорию интегральных уравнений. Он ввёл понятие «гильбертова пространства» (бесконечномерное линейное пространство со скалярным произведением), которое стало основой современного функционального анализа. Его работы по спектральной теории операторов имели прямое применение в квантовой механике (такие термины, как «гильбертово пространство», «оператор Гильберта — Шмидта», «преобразование Гильберта»).

Программа Гильберта и формальная логика (1920–1930)

Начиная с 1920-х годов, Гильберт активно занялся основаниями математики. Он разработал программу «формализации математики» (так называемый «формализм»), целью которой было доказать непротиворечивость всей классической математики средствами конечной (финитарной) метаматематики. Ключевым элементом программы была теория доказательств (доказательство непротиворечивости). Однако в 1931 году Курт Гёдель опубликовал свои теоремы о неполноте, показавшие, что в рамках программы Гильберта непротиворечивость достаточно сильных формальных систем (включая арифметику) не может быть доказана их собственными средствами. Несмотря на этот удар, программа Гильберта стимулировала развитие математической логики, теории алгоритмов и информатики.

Проблемы Гильберта (1900)

На II Международном конгрессе математиков в Париже 8 августа 1900 года Гильберт прочитал доклад «Математические проблемы», в котором сформулировал 23 наиболее важные, по его мнению, нерешённые задачи математики. Этот список охватывал все разделы науки: от оснований математики (первая проблема — континуум-гипотеза) до физики (шестая проблема — аксиоматизация физики). Решение многих из этих проблем (или доказательство их неразрешимости) стало важнейшими вехами в математике XX века. На сегодняшний день 13 задач полностью решены, некоторые частично, а одна (восьмая — гипотеза Римана) остаётся открытой.

Философские взгляды и влияние

Гильберт был убеждённым сторонником формализма — взгляда, согласно которому математика представляет собой игру с формальными символами по заданным правилам, не требующую обращения к интуитивно-содержательным представлениям. Он решительно возражал против интуиционизма Л. Э. Я. Брауэра, который отвергал закон исключённого третьего для бесконечных множеств. Известно его высказывание: «Из рая, который создал для нас Кантор, никто не сможет нас изгнать».

Влияние Гильберта на математику XX века колоссально. Он организовал одну из самых продуктивных математических школ в истории, к которой принадлежали Герман Вейль, Джон фон Нейман, Рихард Курант, Эмми Нётер, Эрнст Цермело и многие другие. Его аксиоматический подход стал парадигматическим для всей теоретической математики.

Основные труды

• «Grundlagen der Geometrie» (1899) — «Основания геометрии».
• «Zahlbericht» (1897) — «Отчёт о числах» (по теории алгебраических чисел).
• «Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen» (1912) — «Основы общей теории линейных интегральных уравнений».
• «Gesammelte Abhandlungen» (1932–1935) — Собрание сочинений в трёх томах.

Память

Имя Гильберта увековечено в наименованиях математических объектов (гильбертово пространство, гильбертов куб, гильбертово преобразование, оператор Гильберта — Шмидта), а также в названии кратера на обратной стороне Луны. В Гёттингене и Калининграде установлены памятники учёному. Математический институт имени Д. Гильберта существует в Гёттингене (Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften).

Источники

• Констанс Рид. «Гильберт». — М.: Наука, 1977.
• Hermann Weyl. «David Hilbert and his mathematical work». — Bulletin of the American Mathematical Society, 1944.
• Michael J. Crowe. «A History of Vector Analysis». — 1967. Содержит обзорная биография Гильберта в контексте его времени.
• Grattan-Guinness, I. «The Search for Mathematical Roots, 1870–1940». — Princeton University Press, 2000.
• Felix E. Browder (ed.). «Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems». — Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Vol. XXVIII, 1976.