Диагональ многоугольника и формулы вычисления¶
Диагональ — это отрезок, соединяющий две несмежные вершины многоугольника или многогранника. В плоской геометрии диагональю называют отрезок, соединяющий две вершины многоугольника, не лежащие на одной стороне. В стереометрии диагональю многогранника является отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Понятие диагонали используется в геометрии, архитектуре, строительстве и повседневных расчётах — например, при определении размеров экрана, дверного проёма или телевизора.
¶Диагональ прямоугольника
Наиболее распространённая задача — вычисление диагонали прямоугольника. Пусть прямоугольник имеет стороны a и b. Диагональ d является гипотенузой прямоугольного треугольника, составленного двумя смежными сторонами, поэтому по теореме Пифагора:
d = √(a² + b²)
Пример: при сторонах 3 см и 4 см диагональ равна √(9 + 16) = √25 = 5 см.
Для квадрата со стороной a формула упрощается, так как обе стороны равны:
d = a√2 ≈ 1,414 · a
Обратная задача — вычисление стороны по диагонали — решается через d/√2.
¶Диагональ параллелограмма
В общем параллелограмме со сторонами a и b и углом α между ними диагонали вычисляются по формулам косинусной теоремы:
- Длинная диагональ: d₁ = √(a² + b² + 2ab·cos α)
- Короткая диагональ: d₂ = √(a² + b² − 2ab·cos α)
Для прямоугольника (α = 90°, cos α = 0) обе формулы сводятся к теореме Пифагора. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов сторон: d₁² + d₂² = 2(a² + b²).
¶Диагональ трапеции
В произвольной трапеции со сторонами a и b (основаниями) и боковыми сторонами c и d диагонали находятся по косинусной теореме, предварительно вычислив углы основания через высоту и проекции боковых сторон. Для прямоугольной трапеции с основаниями a, b и высотой h диагонали равны:
d = √(h² + (a − b)²) и d = √(h² + (a + b)²) — в зависимости от того, какие вершины соединяются.
¶Диагональ многоугольника
Количество диагоналей выпуклого n-угольника определяется формулой:
N = n(n − 3) / 2
Например, у пятиугольника 5·2/2 = 5 диагоналей, у шестиугольника — 9. Диагонали, не пересекающиеся внутри многоугольника, называются диагоналями, разбивающими его на треугольники; из любой вершины n-угольника можно провести n − 3 диагонали.
¶Диагональ параллелепипеда и куба
В прямоугольном параллелепипеде с рёбрами a, b, c диагональ вычисляется по трёхмерному обобщению теоремы Пифагора:
d = √(a² + b² + c²)
Для куба со стороной a:
d = a√3 ≈ 1,732 · a
¶Диагональ правильного многоугольника
Для правильного n-угольника со стороной a длина диагонали, соединяющей вершины, отстоящие друг от друга на k сторон (1 < k < n/2), равна:
d = a · sin(πk/n) / sin(π/n)
Для правильного шестиугольника со стороной a «длинная» диагональ (соединяющая противоположные вершины) равна 2a, для правильного пятиугольника — a·φ, где φ ≈ 1,618 — золотое сечение.
¶Практическое применение
Вычисление диагонали применяется при определении диагонали экрана (телевизора, монитора) — размер указывается в дюймах и соответствует длине диагонали прямоугольника. В строительстве диагонали проверяют прямоугольность конструкций: если диагонали прямоугольного основания равны, основание является прямоугольником. В компьютерной графике диагональ экрана определяет разрешение и пропорции изображения.
¶Историческая справка
Свойство диагонали квадрата, впервые доказанное для диагонали квадрата с единичной стороной (√2 — так называемое «непостижимое число»), стало одним из первых доказательств существования иррациональных чисел в древнегреческой математике. Приписывается открытие пифагорейцу Гиппасу Метапонтскому (V век до н. э.).
¶Источники
- Атанасян Л. С. и др. «Геометрия. 7–9 классы»
- Погорелов А. В. «Геометрия. 7–11 классы»
- Кочетков Ю. Б. «Геометрия. 7–11 классы»
- Энциклопедический словарь юного математика